Dê exemplos de:
Um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{5} e de um vetor desse espaço.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de subespaço vetorial de \mathbb{R}^5 e um vetor desse subespaço. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não vazio que é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Definimos
W = \{(x_1,x_2,0,0,0)\mid x_1,x_2\in\mathbb{R}\}.
Para mostrar que W é subespaço de \mathbb{R}^5:
  1. O vetor zero de \mathbb{R}^5 é (0,0,0,0,0), que está em W (basta tomar x_1=x_2=0).
  2. Se u=(x_1,x_2,0,0,0)\in W e v=(y_1,y_2,0,0,0)\in W, então
u+v = (x_1+y_1,\;x_2+y_2,\;0,\;0,\;0)\in W.
  1. Se \alpha\in\mathbb{R} e u=(x_1,x_2,0,0,0)\in W, então
\alpha\,u = (\alpha x_1,\;\alpha x_2,\;0,\;0,\;0)\in W.
Logo W satisfaz as três condições de subespaço.

Passo 3

Um exemplo de vetor em W é
v = (1,2,0,0,0),
pois corresponde a x_1=1, x_2=2 e zeros nas demais coordenadas.

Resposta

W = \{(x_1,x_2,0,0,0)\mid x_1,x_2\in\mathbb{R}\}
v = (1,2,0,0,0)

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