Verifique se as funções abaixo, são ou não são transformações lineares, justificando:
F_{6}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow M_{2 \times 2} tal que F_{6}(x, y)=\left(\begin{array}{cc}x-y & -2 y \\\ 3 x & x+y\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
F_{6}\colon \mathbb{R}^{2}\to M_{2\times2},\qquad F_{6}(x,y)=\begin{pmatrix}x-y & -2y\\[6pt]3x & x+y\end{pmatrix}
é uma transformação linear.
Para isso, vamos usar a definição: F é linear se, para quaisquer (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2} e qualquer escalar c, valem
  1. F((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=F(x_{1},y_{1})+F(x_{2},y_{2}) (aditividade),
  2. F(c\,(x,y))=c\,F(x,y) (homogeneidade).]

Passo 2

Verificamos a aditividade. Seja (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}). Então
F_{6}(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) =\begin{pmatrix}(x_{1}+x_{2})-(y_{1}+y_{2}) & -2(y_{1}+y_{2})\\[4pt]3(x_{1}+x_{2}) & (x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})\end{pmatrix}.
Expandindo cada entrada:
=\begin{pmatrix}(x_{1}-y_{1})+(x_{2}-y_{2}) & (-2y_{1})+(-2y_{2})\\[4pt](3x_{1})+(3x_{2}) & (x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_{1}-y_{1} & -2y_{1}\\[4pt]3x_{1} & x_{1}+y_{1}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x_{2}-y_{2} & -2y_{2}\\[4pt]3x_{2} & x_{2}+y_{2}\end{pmatrix}.
Portanto
F_{6}((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))=F_{6}(x_{1},y_{1})+F_{6}(x_{2},y_{2}).]

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R}. Então
F_{6}(c\,x,\,c\,y) =\begin{pmatrix}c x - c y & -2(c y)\\[4pt]3(c x) & c x + c y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}c(x-y) & c(-2y)\\[4pt]c(3x) & c(x+y)\end{pmatrix} =c\begin{pmatrix}x-y & -2y\\[4pt]3x & x+y\end{pmatrix} =c\,F_{6}(x,y).]

Passo 4

Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade são satisfeitas, F_{6} é uma transformação linear.

Resposta

F_{6} é transformação linear.

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