Dê exemplos de:
Uma transformação linear de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{3}, tal que \operatorname{dim} \operatorname{Im} T seja 2 .

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 tal que
\dim\bigl(\operatorname{Im}T\bigr)=2.
Em teoria de espaços vetoriais, isso significa que a matriz que representa T deve ter posto (rank) igual a 2.

Passo 2

Uma forma direta é escolher uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} de posto 2 e definir
T(x)=A\,x.
Por exemplo, tome
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
As duas primeiras linhas formam pivôs independentes, portanto
\operatorname{rank}(A)=2.

Passo 3

Verificamos que
\operatorname{Im}T = \operatorname{Col}(A)
é o subespaço gerado pelos vetores coluna
\,(1,0,0)^T e (0,1,0)^T,
que são linearmente independentes. Logo
\dim\bigl(\operatorname{Im}T\bigr)=2, conforme exigido.

Resposta

Um exemplo concreto é
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3,\qquad T\bigl(x_1,x_2,x_3,x_4\bigr) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1\x_2\\\ 0\end{pmatrix},
cuja imagem é o plano \{(x_1,x_2,0)\}\subset\mathbb{R}^3 de dimensão 2.

Exercícios relacionados