Dê exemplos de:
Uma transformação linear de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R}^{3}, tal que \operatorname{dim} \operatorname{Im} T seja 2 .
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de transformação linear T\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 tal que \dim\bigl(\operatorname{Im}T\bigr)=2.
Em teoria de espaços vetoriais, isso significa que a matriz que representa T deve ter posto (rank) igual a 2.
Passo 2
Uma forma direta é escolher uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} de posto 2 e definir
As duas primeiras linhas formam pivôs independentes, portanto \operatorname{rank}(A)=2.
Passo 3
Verificamos que \operatorname{Im}T = \operatorname{Col}(A)
é o subespaço gerado pelos vetores coluna \,(1,0,0)^T e (0,1,0)^T,
que são linearmente independentes. Logo \dim\bigl(\operatorname{Im}T\bigr)=2, conforme exigido.