Questão 9 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). P Marcar questão
Qual o valor do cosseno do ângulo formado pelos planos
\pi_{1}: 2 x-y+z=0
\pi_{2}: x-2 y+z=0
Escolha uma opção:
a. \frac{1}{2}
b. \frac{\sqrt{2}}{2}
c. \frac{5}{6}
d. \frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo formado pelos planos
\pi_{1}:2x - y + z = 0 e \pi_{2}: x - 2y + z = 0.
Para resolver, usamos o fato de que o ângulo entre planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais e empregamos produto escalar.

Passo 2

Extraímos os vetores normais:
\vec n_1 = (2,\,-1,\,1) para \pi_1 e \vec n_2 = (1,\,-2,\,1) para \pi_2.

Passo 3

Calculamos o produto escalar
\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 2\cdot1 + (-1)\cdot(-2) + 1\cdot1 = 2 + 2 + 1 = 5.

Passo 4

Calculamos as normas:
\|\vec n_1\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6},\quad \|\vec n_2\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}.

Passo 5

Usamos a fórmula do cosseno do ângulo \varphi entre vetores:
\cos\varphi = \frac{\bigl|\vec n_1 \cdot \vec n_2\bigr|}{\|\vec n_1\|\;\|\vec n_2\|} = \frac{5}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{5}{6}.

Resposta

c. \frac{5}{6}

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