Dê exemplos de:
Uma transformação linear de \mathbb{R} em \mathbb{R}^{3}, tal que \operatorname{Im} T=[(1,2,3)].

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
\displaystyle T\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3
cuja imagem seja exatamente a reta gerada por (1,2,3), isto é,
\operatorname{Im}T=\{\,\lambda(1,2,3)\mid \lambda\in\mathbb{R}\}.
O conteúdo envolve entender que toda transformação linear de \mathbb{R} em \mathbb{R}^3 é determinada por onde vai a base de \mathbb{R}, ou seja, \,1.

Passo 2

Uma forma geral de toda transformação linear T\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}^3 é
T(x) = x\,(a,b,c),
para algum vetor (a,b,c)\in\mathbb{R}^3.
Nesse caso,
\operatorname{Im}T = \{\,x\,(a,b,c)\mid x\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(a,b,c)\}.

Passo 3

Para garantir \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}, basta escolher
(a,b,c) = (1,2,3).
Logo definimos
T(x) = (x,\,2x,\,3x).
É claro que T é linear (soma e escala preservadas) e
\operatorname{Im}T = \{(x,2x,3x)\mid x\in\mathbb{R}\} = \{\,\lambda(1,2,3)\mid \lambda\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Qualquer múltiplo não nulo de (1,2,3) também funciona. Por exemplo, se escolhermos
T(x) = (2x,\,4x,\,6x),
obtemos a mesma imagem, pois (2,4,6)=2(1,2,3) e
\operatorname{span}\{(2,4,6)\}=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}.

Resposta

Um exemplo simples é
T(x) = (x,\,2x,\,3x),
pois \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}.
Outro exemplo é
T(x) = (2x,\,4x,\,6x),
com a mesma imagem.

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