Verifique se as funções abaixo, são ou não são transformações lineares, justificando:
F_{1}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que F_{1}(x, y, z)=(3 x-4 y+5 z, 4 x+z, y-6 z).

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle F_{1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
por
F_{1}(x,y,z) = (\,3x-4y+5z,\;4x+z,\;y-6z\,).
O conteúdo é “transformações lineares” e, para verificar se F_{1} é linear, vamos checar as duas propriedades fundamentais:
  1. aditividade: F_{1}(u+v)=F_{1}(u)+F_{1}(v),
  2. homogeneidade: F_{1}(\lambda v)=\lambda\,F_{1}(v).

Passo 2

Sejam u=(x_{1},y_{1},z_{1}) e v=(x_{2},y_{2},z_{2}). Então
u+v = (\,x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}\,)
e aplicando F_{1} obtemos
F_{1}(u+v) = \bigl(3(x_{1}+x_{2}) - 4(y_{1}+y_{2}) + 5(z_{1}+z_{2}),\; 4(x_{1}+x_{2}) + (z_{1}+z_{2}),\; (y_{1}+y_{2}) - 6(z_{1}+z_{2})\bigr).
Agrupando termos, isso é
\bigl(3x_{1}-4y_{1}+5z_{1},\;4x_{1}+z_{1},\;y_{1}-6z_{1}\bigr) + \bigl(3x_{2}-4y_{2}+5z_{2},\;4x_{2}+z_{2},\;y_{2}-6z_{2}\bigr) =F_{1}(u)+F_{1}(v).
Logo, F_{1} satisfaz a aditividade.

Passo 3

Seja \lambda\in\mathbb{R} e v=(x,y,z). Então
\lambda v = (\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z)
e
F_{1}(\lambda v) = \bigl(3(\lambda x)-4(\lambda y)+5(\lambda z),\; 4(\lambda x)+(\lambda z),\; (\lambda y)-6(\lambda z)\bigr).
Como fatoramos \lambda, obtemos
\lambda\bigl(3x-4y+5z,\;4x+z,\;y-6z\bigr) = \lambda\,F_{1}(x,y,z).
Portanto, F_{1} satisfaz a homogeneidade.

Passo 4

Tendo verificado aditividade e homogeneidade, concluímos que F_{1} é uma transformação linear.

Resposta

A função F_{1} é transformação linear.

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