Questão 10 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). P Marcar questão
Quais as equações paramétricas da reta r interseção dos planos \pi_{1}: 2 x+y+4 z=4 \pi_{2}: 2 x-y+2 z=0
Observação:
Para achar um ponto pertencente a reta faça z=0 no sistema, assim terá somente uma resposta.
Escolha uma opção:
a. r=\left\{\begin{array}{l}x=1-3 t \\\ y=+2 t \\\ z=-4 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.
b. r=\left\{\begin{array}{l}x=1+6 t \\\ y=0+4 t \\\ z=1-2 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.
c. r=\left\{\begin{array}{l}x=3 t \\\ y=2-4 t \\\ z=1-4 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.
d. r=\left\{\begin{array}{l}x=1+6 t \\\ y=2+4 t \\\ z=-4 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.
Passo 1
O enunciado pede as equações paramétricas da reta r que é a interseção dos planos
\pi_{1}:2x+y+4z=4
\pi_{2}:2x-y+2z=0.
Conteúdo: interseção de planos no espaço. Para descrever a reta precisamos de um ponto P sobre ela e de um vetor diretor \mathbf v.
Passo 2
Para achar um ponto em r\), segue a sugestão: faça \(z=0\). Então o sistema vira
\[\begin{cases} 2x+y=4,\\\\ 2x-y=0. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 4x=4\], logo \(x=1. Substituindo em 2x-y=0 dá y=2.
Portanto um ponto em r é P=(1,2,0).
Passo 3
Os vetores normais aos planos são \mathbf n_1=(2,1,4) e \mathbf n_2=(2,-1,2).
O vetor diretor \mathbf v da reta r é dado pelo produto vetorial
\mathbf v \;=\;\mathbf n_1\times\mathbf n_2 =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 2&1&4\\\\ 2&-1&2 \end{vmatrix} =6\,\mathbf i+4\,\mathbf j-4\,\mathbf k.
Podemos usar \mathbf v=(6,4,-4).
Passo 4
Com ponto P=(1,2,0) e direção \mathbf v=(6,4,-4), as equações paramétricas são
\begin{cases} x=1+6t,\\\ y=2+4t,\\\ z=0-4t, \end{cases} \quad t\in\mathbb R.
Passo 5
Comparando com as opções dadas, a única que coincide é a letra (d).