Verifique se as funções abaixo, são ou não são transformações lineares, justificando:
F_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que F_{2}(x, y)=(x-y, 4 x+y, 8 x y).

Passo 1

O enunciado define F_{2}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} por
F_{2}(x,y) = (\,x - y,\;4x + y,\;8xy\,).
Para verificar se é transformação linear, usamos a definição: uma aplicação T é linear se, para todo u,v\in\mathbb{R}^{2} e todo escalar c, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade),
  2. T(c\,u)=c\,T(u) (homogeneidade).

Passo 2

Vamos checar a aditividade com o contraexemplo
u=(1,0), \quad v=(0,1).
Primeiro calculemos
F_{2}(u+v)=F_{2}(1,1) =(\,1-1,\;4\cdot1+1,\;8\cdot1\cdot1\,) =(\,0,5,8\,).
Agora
F_{2}(u)=(\,1-0,\;4\cdot1+0,\;8\cdot1\cdot0\,)=(\,1,4,0\,),
F_{2}(v)=(\,0-1,\;4\cdot0+1,\;8\cdot0\cdot1\,)=(-1,1,0),
então
F_{2}(u)+F_{2}(v)=(\,1,4,0\,)+(-1,1,0)=(\,0,5,0\,).
Como
F_{2}(u+v)=(0,5,8)\neq(0,5,0)=F_{2}(u)+F_{2}(v),
a aditividade falha.

Resposta

A função F_{2} não é transformação linear, pois não satisfaz F_{2}(u+v)=F_{2}(u)+F_{2}(v).

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