Dê exemplos de transformações lineares T: R^3 R^3 tais que
I(T)=(x, y, z) in R^3 mid x=y.

Passo 1

O enunciado pede transformações lineares TcolonR^3toR^3 cuja imagem é o plano dado por
I(T)=(x,y,z)inR^3mid x=y
O conteúdo aqui é a noção de espaço-imagem de uma transformação linear e como escolher colunas de uma matriz para que seu subespaço imagem seja exatamente esse plano.

Passo 2

Note que o plano (x,y,z)mid x=y tem dimensão 2 e pode ser escrito como
s(1,1,0)+t(0,0,1)mid s,tinR
Portanto uma base natural para esse plano é
v1=(1,1,0), v2=(0,0,1)

Passo 3

Seja qualquer transformação linear dada por uma matriz em relação à base canônica. Então
.
Para que , basta escolher as colunas de de modo que gerem e . Por exemplo, podemos mandar
onde são os vetores da base canônica. A matriz correspondente é
e de fato

Passo 4

Em geral, qualquer transformação da forma
T(x,y,z)=(ell(x,y,z),,ell(x,y,z),,m(x,y,z))
com formas lineares ell e m linearmente independentes terá imagem x=y. Basta que ell varie numa direção e m noutra, garantindo dimensão 2.

Resposta

Aqui vão três exemplos concretos:
T1colonR^3toR^3 dada por
T1(x,y,z)=(x,x,z)
T2colonR^3toR^3 dada por
T2(x,y,z)=(x+y,,x+y,,z)
T3colonR^3toR^3 dada por
T3(x,y,z)=(2x-y,,2x-y,,3x+z)
Em cada caso a imagem é exatamente o plano (x,y,z)mid x=y.

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