Seja W o conjunto de todos os vetores da forma [cs+3 t s-t 2 s-t 4 t] Mostre que W é um subespaço de R^4. (Use o método do
Exercício 11.)

Passo 1

O enunciado define o conjunto W como
W = , s+3t s-t 2s-t 4t ;midd<=|;s,tinR
Para mostrar que W é subespaço de R^4, basta verificar que
  1. W não é vazio (contém o vetor zero),
  2. W é fechado sob adição de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação de não vacuidade. Para s=0 e t=0 temos
0+3cdot0 0-0 2cdot0-0 4cdot0 = 0000 ,
logo 0in W.

Passo 3

Fechamento em relação à adição. Sejam
e
em .
Então
Como e são reais, tem a forma paramétrica com parâmetros
, logo .

Passo 4

Fechamento em relação ao produto por escalar. Seja e
em .
Então
onde definimos e . Como , segue que .

Resposta

Como W contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço de R^4.

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