Seja
o conjunto de todos os vetores da forma
Mostre que
W é um subespaço de
R^4 . (Use o método do
Exercício 11.)
Exercício 11.)
Passo 1
O enunciado define o conjunto
W como
Para mostrar que
W é subespaço de
R^4 , basta verificar que
-
não é vazio (contém o vetor zero),W -
é fechado sob adição de vetores,W -
é fechado sob multiplicação por escalar.W
Passo 2
Verificação de não vacuidade. Para
s=0 e
t=0 temos
logo
0in W .
Passo 3
Fechamento em relação à adição. Sejam
e
em .
Então
e
em
Então
Como
e
são reais,
tem a forma paramétrica com parâmetros
, logo
.
Passo 4
Fechamento em relação ao produto por escalar. Seja
e
em .
Então
em
Então
onde definimos
e
. Como
, segue que
.
Resposta
Como
W contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação escalar, concluímos que
W é um subespaço de
R^4 .