Sejam e w=[l3 1 2].
a. O vetor w pertence a v1, v2, v3 ? Quantos vetores pertencem a v1, v2, v3 ?
b. Quantos vetores pertencem a Lv1, v2, v3 ?
c. O vetor w pertence ao subespaço gerado por v1, v2, v3 ? Por quê?
Passo 1
O enunciado dá três vetores em R^3:
v1=10-1, v2=213, v3=426
e o vetor
w=312
As questões são de teoria de conjuntos e subespaços vetoriais: (a) verificar se w está no conjunto v1,v2,v3 e qual a cardinalidade desse conjunto; (b) qual a cardinalidade de Lv1,v2,v3; (c) decidir se w pertence ao subespaço gerado e justificar.
Passo 2
Para checar se w pertence ao conjunto v1,v2,v3 basta comparar coordenada a coordenada: v1=(1,0,-1), v2=(2,1,3), v3=(4,2,6),
e w=(3,1,2).
Nenhum deles é igual a w, logo wnotinv1,v2,v3.
A quantidade de vetores desse conjunto é simplesmente o número de elementos listados, ou seja, 3.
Passo 3
Para saber quantos vetores há em Lv1,v2,v3, note que v3=2,v2,
então o span deles é o mesmo que o span de v1,v2. Como v1 e v2 são linearmente independentes (não há escalares a,b não triviais com a,v1+b,v2=0), esse subespaço é um plano em R^3. Todo plano de R^3 contém infinitos vetores (é um conjunto não enumerável). Portanto Lv1,v2,v3
tem infinitos vetores.
Passo 4
Para ver se
Isso gera o sistema
Da segunda equação dá . Verificando na terceira: , consistente. Logo
,
ou seja, .
Resposta
a. wnotinv1,v2,v3. Esse conjunto tem 3 vetores.
b. Lv1,v2,v3 contém infinitos vetores.
c. Sim, pois w=1cdotv1+1cdotv2 mostra que w está no subespaço gerado.