Exerc. 7) Água é bombeada à vazão de 360\left[\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}\right] com uma bomba centrífuga sob 2500[\mathrm{rpm}] de rotação. O diâmetro do rotor na entrada é de 150[\mathrm{~mm}] e na saída, de 300[\mathrm{~mm}]. A altura da pá na entrada é de 30[\mathrm{~mm}] e na saída de 15[\mathrm{~mm}]. O ângulo construtivo da pá na entrada e saída é 25^{\circ}. Determine a altura, o torque e a potência teórica para um número infinito de pás. Demonstre também os cálculos de todas as componentes do triângulo de velocidades.

Passo 1

O enunciado pede que você calcule, para um número infinito de pás (situação ideal, sem deslizamento relativo entre fluido e pá):
  • a altura manométrica teórica (ou “altura”) fornecida pela bomba;
  • o torque aplicado pelo fluido ao rotor;
  • a potência teórica entregue ao fluido.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &Q = 360\left[\mathrm{m}^3/\mathrm{h}\right],\\\ &n = 2500\left[\mathrm{rpm}\right],\\\ &D_1 = 150\left[\mathrm{mm}\right],\quad D_2 = 300\left[\mathrm{mm}\right],\\\ &b_1 = 30\left[\mathrm{mm}\right],\quad b_2 = 15\left[\mathrm{mm}\right],\\\ &\beta_1 = 25^\circ,\quad \beta_2 = 25^\circ. \end{aligned}
Observações sobre os dados (apenas organizando):
  • vou interpretar D_1 como diâmetro na entrada (raio r_1) e D_2 na saída (raio r_2);
  • b é a altura/pé da pá na direção axial (espessura axial do escoamento), usada para área de passagem;
  • o «ângulo construtivo» \beta será tratado como o ângulo entre a velocidade relativa W e a direção tangencial (ou seja, o ângulo da pá em relação à tangente); assumiremos pás curvadas para trás (caso usual), o que dá a fórmula usada adiante;
  • usuarei água com densidade \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Teoria e método — o que vamos usar e por quê (explicação didática)
  • Fluxo através do anel do rotor: a área de escoamento no raio r é a circunferência multiplicada pela altura da pá, i.e.
A = 2\pi r b.
Pela continuidade, a velocidade meridional (radial/axial, dependendo da convenção; aqui é a componente que atravessa a seção anular) é
V_m = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{2\pi r b}.
Essa velocidade é a componente radial do vetor velocidade absoluto V. Vou chamá‑la de V_r.
  • Triângulo de velocidades (conceito): no rotor girante temos três vetores importantes em cada seção:
    • velocidade tangencial da pá U = \omega r (somente componente tangencial);
    • velocidade absoluta do fluido V com componentes (V_r,\,V_u), onde V_u é a componente tangencial absoluta (whirl);
    • velocidade relativa do fluido em relação à pá W = V - U com componentes (W_r,\,W_t).
      O ângulo da pá \beta é o ângulo entre W e a tangente. Geometricamente,
\tan\beta = \frac{W_r}{|W_t|} = \frac{V_r}{|W_t|},
pois W_r = V_r.
  • Condição de pás infinitas (sem deslizamento): o fluido sai/alinha exatamente com a pá, ou seja, W tem a direção da pá (sem diferença entre W e a direção da pá). Com convenção de pás para trás, W_t aponta em sentido oposto ao de U, e podemos escrever (em módulo e com o sinal adequado)
W_t = -\frac{V_r}{\tan\beta}.
Como V = U + W (vetorial), a componente tangencial absoluta é
V_u = U + W_t = U - \frac{V_r}{\tan\beta}.
Essa fórmula é usada tanto na entrada (índice 1) como na saída (índice 2).
  • Equação de Euler para máquinas rotativas (energia por unidade de massa fornecida ao fluido):
\Delta E_{\text{por massa}} = U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1}.
Convertendo para altura (energia por unidade de peso),
H = \frac{U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1}}{g}.
  • Potência teórica (potência hidráulica entregue ao fluido):
P = \dot{m}\,(U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1}) \quad\text{com}\quad \dot{m}=\rho Q,
ou usando H,
P = \rho g Q H.
  • Torque no eixo: P = T \omega \Rightarrow T = \dfrac{P}{\omega}.
Resumo do método: calcular r_1,r_2,\omega,U_1,U_2; calcular V_{r1},V_{r2} pela continuidade; usar V_{u}=U - V_r/\tan\beta; montar triângulos (componentes V_r,V_u,W_r,W_t e ângulos); aplicar Euler para achar H; usar P=\rho g Q H e T=P/\omega.

Passo 3

Conversões e cálculo de parâmetros geométricos e cinemáticos iniciais
\begin{aligned} &Q = 360\\ \mathrm{m^3/h} = \frac{360}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 0,1\\ \mathrm{m^3/s},\\[4pt] &r_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{150\\ \mathrm{mm}}{2} = 75\\ \mathrm{mm} = 0,075\\ \mathrm{m},\\[4pt] &r_2 = \frac{D_2}{2} = \frac{300\\ \mathrm{mm}}{2} = 150\\ \mathrm{mm} = 0,150\\ \mathrm{m},\\[4pt] &b_1 = 30\\ \mathrm{mm} = 0,030\\ \mathrm{m},\qquad b_2 = 15\\ \mathrm{mm} = 0,015\\ \mathrm{m},\\[4pt] &n = 2500\\ \mathrm{rpm} \Rightarrow \omega = 2\pi\frac{n}{60} = 2\pi\cdot\frac{2500}{60}\\ \mathrm{rad/s}\approx 261,799\\ \mathrm{rad/s}. \end{aligned}]

Passo 4

Cálculo das áreas de passagem e das velocidades meridionais V_r
A área anular em cada seção é
A_i = 2\pi r_i b_i.
Calculemos A_1 e A_2:
\begin{aligned} &A_1 = 2\pi(0,075)(0,030) = 2\pi\cdot 0,00225 \approx 0,0141372\\ \mathrm{m^2},\\[4pt] &A_2 = 2\pi(0,150)(0,015) = 2\pi\cdot 0,00225 \approx 0,0141372\\ \mathrm{m^2}. \end{aligned}
Repare que r_1 b_1 = r_2 b_2 = 0,00225, logo as duas áreas são idênticas e a velocidade meridional será igual em ambas as seções:
V_{r1} = V_{r2} = V_r = \frac{Q}{A} = \frac{0,1}{0,0141372}\\ \mathrm{m/s}\approx 7,0730\\ \mathrm{m/s}.]

Passo 5

Cálculo das velocidades tangenciais das pás U_1 e U_2
\begin{aligned} &U_1 = \omega r_1 \approx 261,799\times 0,075 \approx 19,63495\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &U_2 = \omega r_2 \approx 261,799\times 0,150 \approx 39,26991\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}]

Passo 6

Cálculo das componentes tangenciais absolutas V_{u1} e V_{u2} usando a condição de pás infinitas (sem deslizamento)
Recordando a relação (para pás curvadas para trás, sinal conforme explicado):
V_u = U - \frac{V_r}{\tan\beta}.
Com \beta_1=\beta_2=25^\circ e \tan 25^\circ \approx 0,4663077, temos
\frac{V_r}{\tan\beta} = \frac{7,0730}{0,4663077} \approx 15,17205\\ \mathrm{m/s}.
Logo
\begin{aligned} &V_{u1} = U_1 - \frac{V_r}{\tan\beta} \approx 19,63495 - 15,17205 \approx 4,46290\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &V_{u2} = U_2 - \frac{V_r}{\tan\beta} \approx 39,26991 - 15,17205 \approx 24,09786\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}]

Passo 7

Triângulos de velocidades — cálculo de todas as componentes e ângulos
Componentes conhecidas:
  • componente radial (meridional) comum:
V_{r1}=V_{r2}=V_r\approx 7,0730\\ \mathrm{m/s}.
  • componentes tangenciais absolutas:
V_{u1}\approx 4,46290\\ \mathrm{m/s},\qquad V_{u2}\approx 24,09786\\ \mathrm{m/s}.
Agora as componentes da velocidade relativa W:
\begin{aligned} &W_{r1}=W_{r2}=V_r\approx 7,0730\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &W_{t1}=V_{u1}-U_1 \approx 4,46290-19,63495 \approx -15,17205\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &W_{t2}=V_{u2}-U_2 \approx 24,09786-39,26991 \approx -15,17205\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}
(repare que W_{t1}=W_{t2}=-V_r/\tan\beta, igual nos dois pontos porque V_r/\tan\beta e os U mudam de modo compensado)
Módulos dos vetores:
\begin{aligned} &|V_1|=\sqrt{V_{r}^2+V_{u1}^2}\approx \sqrt{7,0730^2+4,46290^2}\approx 8,360\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &|V_2|=\sqrt{V_{r}^2+V_{u2}^2}\approx \sqrt{7,0730^2+24,09786^2}\approx 25,062\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &|W_1|=\sqrt{W_{r1}^2+W_{t1}^2}=\sqrt{7,0730^2+(-15,17205)^2}\approx 16,740\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] &|W_2|=\sqrt{W_{r2}^2+W_{t2}^2}\approx 16,740\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}
Verificação com trigonometria da pá:
|W|=\frac{V_r}{\sin\beta} \quad\Rightarrow\quad |W|\approx \frac{7,0730}{\sin25^\circ}\approx\frac{7,0730}{0,422618}\approx 16,740\\ \mathrm{m/s},
confirmando os módulos de W.
Ângulos do triângulo:
  • ângulo absoluto \alpha_i (entre V e a tangente), dado por \tan\alpha = V_r/V_u:
\begin{aligned} &\alpha_1 = \arctan\!\left(\frac{V_r}{V_{u1}}\right)\approx \arctan\!\left(\frac{7,0730}{4,46290}\right)\approx 57,6^\circ,\\[4pt] &\alpha_2 = \arctan\!\left(\frac{V_r}{V_{u2}}\right)\approx \arctan\!\left(\frac{7,0730}{24,09786}\right)\approx 16,4^\circ. \end{aligned}
  • o ângulo relativo \beta é, por construção, 25^\circ em ambas as seções (condição do enunciado).
Resumo dos principais números dos triângulos (arredondando):
\begin{aligned} &V_r=7,073\\ \mathrm{m/s},\quad V_{u1}=4,4629\\ \mathrm{m/s},\quad V_{u2}=24,0979\\ \mathrm{m/s},\\\ &W_{t1}=W_{t2}=-15,1721\\ \mathrm{m/s},\quad |W|=16,740\\ \mathrm{m/s},\\\ &\alpha_1\approx 57,6^\circ,\quad \alpha_2\approx 16,4^\circ,\quad \beta_1=\beta_2=25^\circ. \end{aligned}]

Passo 8

Cálculo da altura teórica H usando a equação de Euler
Primeiro calculemos U_2 V_{u2} e U_1 V_{u1}:
\begin{aligned} &U_2 V_{u2}\approx 39,26991\times 24,09786 \approx 946,32\\ \mathrm{m^2/s^2},\\[4pt] &U_1 V_{u1}\approx 19,63495\times 4,46290 \approx 87,62\\ \mathrm{m^2/s^2}. \end{aligned}
Diferença:
U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1} \approx 946,32 - 87,62 \approx 858,70\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Altura teórica:
H = \frac{U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1}}{g} \approx \frac{858,70}{9,81}\\ \mathrm{m}\approx 87,6\\ \mathrm{m}.]

Passo 9

Cálculo da potência teórica P e do torque T
Massa por segundo:
\dot{m}=\rho Q = 1000\times 0,1 = 100\\ \mathrm{kg/s}.
Potência teórica (usando \dot{m}(U_2V_{u2}-U_1V_{u1}) ou \rho g Q H):
P = \rho g Q H \approx 1000\times 9,81\times 0,1\times 87,6 \approx 85\,874\\ \mathrm{W}\approx 85,9\\ \mathrm{kW}.
Torque no eixo:
T = \frac{P}{\omega} \approx \frac{85\,874}{261,799}\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 328,0\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

Altura teórica: H \approx 87,6\\ \mathrm{m}
Torque: T \approx 328,0\\ \mathrm{N\cdot m}
Potência teórica: P \approx 85,9\\ \mathrm{kW}

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