Exerc. 7) Água é bombeada à vazão de
com uma bomba centrífuga sob
de rotação. O diâmetro do rotor na entrada é de
e na saída, de
. A altura da pá na entrada é de
e na saída de
. O ângulo construtivo da pá na entrada e saída é
. Determine a altura, o torque e a potência teórica para um número infinito de pás. Demonstre também os cálculos de todas as componentes do triângulo de velocidades.
Passo 1
O enunciado pede que você calcule, para um número infinito de pás (situação ideal, sem deslizamento relativo entre fluido e pá):
- a altura manométrica teórica (ou “altura”) fornecida pela bomba;
- o torque aplicado pelo fluido ao rotor;
- a potência teórica entregue ao fluido.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Observações sobre os dados (apenas organizando):
- vou interpretar
como diâmetro na entrada (raio ) e na saída (raio ); -
é a altura/pé da pá na direção axial (espessura axial do escoamento), usada para área de passagem; - o «ângulo construtivo»
será tratado como o ângulo entre a velocidade relativa e a direção tangencial (ou seja, o ângulo da pá em relação à tangente); assumiremos pás curvadas para trás (caso usual), o que dá a fórmula usada adiante; - usuarei água com densidade
e .
Passo 2
Teoria e método — o que vamos usar e por quê (explicação didática)
- Fluxo através do anel do rotor: a área de escoamento no raio
é a circunferência multiplicada pela altura da pá, i.e.
Pela continuidade, a velocidade meridional (radial/axial, dependendo da convenção; aqui é a componente que atravessa a seção anular) é
Essa velocidade é a componente radial do vetor velocidade absoluto
. Vou chamá‑la de
.
- Triângulo de velocidades (conceito): no rotor girante temos três vetores importantes em cada seção:
- velocidade tangencial da pá
(somente componente tangencial); - velocidade absoluta do fluido
com componentes , onde é a componente tangencial absoluta (whirl); - velocidade relativa do fluido em relação à pá
com componentes .
O ângulo da páé o ângulo entre e a tangente. Geometricamente,
- velocidade tangencial da pá
pois
.
- Condição de pás infinitas (sem deslizamento): o fluido sai/alinha exatamente com a pá, ou seja,
tem a direção da pá (sem diferença entre e a direção da pá). Com convenção de pás para trás, aponta em sentido oposto ao de , e podemos escrever (em módulo e com o sinal adequado)
Como
(vetorial), a componente tangencial absoluta é
Essa fórmula é usada tanto na entrada (índice 1) como na saída (índice 2).
- Equação de Euler para máquinas rotativas (energia por unidade de massa fornecida ao fluido):
Convertendo para altura (energia por unidade de peso),
- Potência teórica (potência hidráulica entregue ao fluido):
ou usando
,
- Torque no eixo:
Resumo do método: calcular
; calcular
pela continuidade; usar
; montar triângulos (componentes
e ângulos); aplicar Euler para achar
; usar
e
.
Passo 3
Conversões e cálculo de parâmetros geométricos e cinemáticos iniciais
Passo 4
Cálculo das áreas de passagem e das velocidades meridionais
A área anular em cada seção é
A área anular em cada seção é
Calculemos
e
:
Repare que
, logo as duas áreas são idênticas e a velocidade meridional será igual em ambas as seções:
Passo 5
Cálculo das velocidades tangenciais das pás
e
Passo 6
Cálculo das componentes tangenciais absolutas
e
usando a condição de pás infinitas (sem deslizamento)
Recordando a relação (para pás curvadas para trás, sinal conforme explicado):
Recordando a relação (para pás curvadas para trás, sinal conforme explicado):
Com
e
, temos
Logo
Passo 7
Triângulos de velocidades — cálculo de todas as componentes e ângulos
Componentes conhecidas:
Componentes conhecidas:
- componente radial (meridional) comum:
- componentes tangenciais absolutas:
Agora as componentes da velocidade relativa
:
(repare que
, igual nos dois pontos porque
e os
mudam de modo compensado)
Módulos dos vetores:
Verificação com trigonometria da pá:
confirmando os módulos de
.
Ângulos do triângulo:
- ângulo absoluto
(entre e a tangente), dado por :
- o ângulo relativo
é, por construção, em ambas as seções (condição do enunciado).
Resumo dos principais números dos triângulos (arredondando):
Passo 8
Cálculo da altura teórica
usando a equação de Euler
Primeiro calculemos e
:
Primeiro calculemos
Diferença:
Altura teórica:
Passo 9
Cálculo da potência teórica
e do torque
Massa por segundo:
Massa por segundo:
Potência teórica (usando
ou
):
Torque no eixo:
Resposta
Altura teórica:
Torque:
Potência teórica:
Torque:
Potência teórica: