Exerc. 1) Uma bomba centrífuga deve prover uma vazão de
com rotação igual a
. A água entra axialmente e deixa o rotor a
relativamente às pás, que são radiais na saída. Se a bomba deve utilizar uma potência próxima de
, estime suas dimensōes básicas (diâmetro e altura das pás na saída do rotor). Se o ângulo das pás à saída for alterado para
(mantidos os outros valores constantes), qual potência ideal consumida? Quais os valores da carga e da potência corrigidas, se
e
nessa última condição? Utilize
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que foi dado e o que se pede, para não a gente se perder depois.
Dados fornecidos:
- Vazão:
. - Rotação:
. - Velocidade da água relativamente às pás na saída:
. - Nas condições iniciais as pás são radiais na saída (ou seja, o vetor relativo sai radialmente).
- Potência desejada aproximada da bomba:
(interpreto isto como potência no eixo entregue à bomba — potência do eixo/shaft). - Na parte final devemos usar as eficiências:
, , . - Em uma última correção pedem que se considere:
, e (número de pás).
Perguntas (o que devemos calcular):
- Estimar as dimensões básicas da bomba (diâmetro
e altura das pás na saída ) para atender à vazão e potência especificadas, na condição inicial (pás radiais na saída). - Se o ângulo das pás na saída for alterado para
(mantendo os outros valores constantes), qual a potência ideal consumida? (aqui interpretarei “potência ideal” como a potência hidráulica teórica gerada/consumida, isto é , sem dividir pelas eficiências). - Nessa última condição (ângulo
), aplicando as correções com , quais são a carga (altura ) e a potência corrigidas usando as eficiências dadas?
Observações feitas a partir do enunciado:
- A entrada é axial e sem rotação inicial (assumo
). - Para água tomarei
e . - Ao longo da resolução vou explicar as fórmulas usadas (Euler para turbomáquinas, relações das componentes de velocidade, conservação de vazão, etc.).
A partir daqui vamos começar a resolver passo a passo.
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (com explicação didática, sem pular etapas).
- Potência hidráulica (energia por unidade de tempo que o fluido recebe do rotor):
onde
-
é a densidade do fluido ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a vazão volumétrica ( ), -
é a altura (carga) fornecida pela bomba ( ).
- Relação entre potência no eixo (potência entregue ao eixo do motor/pump) e potência hidráulica:
onde
é a eficiência global da bomba. Quando há uma eficiência hidráulica
, uma eficiência volumétrica
e uma eficiência mecânica
, podemos usar a eficiência total aproximada como o produto:
Isto significa que, para uma dada potência no eixo, apenas uma fração
vai para a potência hidráulica útil.
- Equação de Euler para turbomáquinas (versão para bombas):
onde
-
é a velocidade tangencial do rotor em uma dada seção ( ), -
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido, - índices
e indicam entrada e saída do rotor (ou pontos 1 e 5 usados no enunciado), -
em .
Explicação simples: a equação de Euler diz que a carga (altura) gerada por peça rotativa provém da variação do momento angular do fluido (quantidade
) entre entrada e saída.
- Relação entre velocidade absoluta
, velocidade relativa e velocidade de pala :
Em componentes na saída:
e
se
só tem componente tangencial.
- Geometria do escoamento na saída radial: a vazão atravessa uma seção anular aproximadamente igual a
(circunferência vezes altura), e a componente radial (ou normal ao círculo) da velocidade absoluta/relativa determina :
No caso de pás radiais com saída puramente radial, a velocidade relativa
é radial e coincide com a componente radial da absoluta (pois
é tangencial), então
(se
é puramente radial).
Com essas fórmulas a gente já tem as ferramentas para calcular
, depois
e
e, por fim,
. Agora aplico aos números.
Passo 3
Calcular a eficiência total e a carga hidráulica necessária quando a potência no eixo deve ser
.
- Eficiência total:
Faço a conta passo a passo:
Logo
.
- Se a potência no eixo é
, a potência hidráulica (ideal) entregue ao fluido é
- Agora obtemos a altura
exigida pela bomba (usando ):
Calculo:
Interpretação: Para que o eixo de 5 kW resulte na condição hidráulica dada pelas eficiências, a bomba deve fornecer uma carga de aproximadamente
.
Passo 4
Usar a equação de Euler e a condição das pás radiais para obter o raio de saída
(e então o diâmetro
).
- Entrada axial sem torvelinho: assumo
. Para pás radiais na saída (relativo puramente radial) temos , então . Assim a carga de Euler fica
- Isolando
:
Substituindo
e
:
- A velocidade tangencial é relacionada com
e o raio:
Calculo de
:
Logo o raio de saída:
- Então o diâmetro de saída:
Comentário prático: dá uma bomba pequena (diâmetro próximo de 95 mm) — faz sentido para vazão de
e rotação alta.
Passo 5
Calcular a altura (espessura axial) das pás na saída
usando a continuidade (vazão atravessando a seção na saída).
- Área de escoamento na saída (aproximação anular):
- Como em saída radial com pás radiais a componente radial da velocidade absoluta é igual à velocidade relativa radial
, temos:
Logo
- Substituindo
, e :
Interpretação: a altura das pás na saída seria cerca de
mm.
Passo 6
Agora alterar o ângulo de saída das pás para
(mantendo os outros valores constantes) e calcular a potência ideal consumida (interpreto como potência hidráulica ideal
).
- Definição do ângulo e decomposição do vetor relativo: vou adotar a convenção usual em turbomáquinas:
-
é o ângulo entre a direção tangente e a velocidade relativa , medido no sentido do tangente para a radial. Assim corresponde a saída radial pura (caso inicial) e significa que forma com a tangente (ou seja tem componente tangencial). - Componentes da velocidade relativa
de módulo nas direções tangencial e radial:
onde o sinal negativo em
indica que o componente tangencial relativo normalmente se opõe ao sentido da rotação (caso de pás retrocurvadas), reduzindo a componente tangencial absoluta. (Essa é a convenção usada na explicação; se a componente fosse no mesmo sentido da rotação, seria positiva.)
- A componente tangencial da velocidade absoluta na saída é
(Para
recuperamos
.)
- A carga de Euler agora vale
- Mantemos
e iguais aos calculados antes (o enunciado pediu “mantidos os outros valores constantes”): e . Para , . Assim
Faço as contas com cuidado:
- Potência hidráulica ideal correspondente:
Comentário: comparando com o caso radial (onde
m e
kW), ao curvarmos as pás (para
) a componente tangencial absoluta diminui e a carga reduz, portanto a potência hidráulica reduz (a bomba fica menos “forte”).
Passo 7
Agora: aplicar as correções pedidas quando
(nesta última condição de
). Vamos estimar a correção (slip/blockage) e obter a carga e a potência corrigidas, e então a potência no eixo corrigida usando as eficiências.
Interpretação e método de correção (explicação didática):
- Com poucas pás e espessura de pala não desprezível, parte da circunferência fica ocupada por material das pás e isso gera dois efeitos práticos: reduzir a área de passagem (aumentando velocidades locais) e causar “slip” no escoamento relativo (o fluido não adquire exatamente a velocidade tangencial que a teoria ideal prevê). Uma correção simples e prática (modelo aproximado) é usar um fator de correção
dado pela fração de circunferência aberta (abertura livre), isto é:
Este é um modelo simples de fator de abertura: se as palas ocupam uma fração
da circunferência, a fração aberta é
essa quantidade. Usamos esse
como um fator que reduz a componente tangencial efetiva
em relação ao valor ideal; ou seja, tomamos
Isto leva a uma carga corrigida aproximadamente
Observação: esse é um modelo aproximado e simples, mas é suficiente para uma estimativa prática (o enunciado pede “valores corrigidos”, então esse procedimento de correção geométrica por bloqueio é uma escolha razoável e direta).
Cálculos:
- Primeiro obtenho
a partir de . Como já tínhamos m,
- Calculo do fator
:
Faço as contas:
- Carga corrigida:
- Potência hidráulica corrigida:
- Potência no eixo (corrigida), usando
:
Interpretação final desta etapa: devido ao bloqueio das pás (espessura e número pequeno), a carga e a potência hidráulica caem ainda mais em relação ao caso ideal com
. A potência no eixo necessária para entregar essa potência hidráulica corrigida é aproximadamente
kW.
Resposta
Diâmetro de saída aproximado:
Altura das pás na saída:
Altura das pás na saída:
Potência hidráulica ideal com
(mantendo demais valores):
Com
(caso
), carga corrigida:
Potência hidráulica corrigida:
Potência no eixo corrigida (considerando ):
Potência hidráulica corrigida:
Potência no eixo corrigida (considerando