Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
\omega^{\prime}=\omega^{2} \cos (x).

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
\omega' = \omega^{2}\cos(x)
e em seguida encontrar a sua solução geral. Estamos lidando com EDOs de primeira ordem e vamos identificar a sua classe (linear, não linear, Bernoulli, separável etc.) e depois resolver por integração.

Passo 2

Para classificar-notamos que o termo \omega^{2} torna a equação não linear. Além disso, ela pode ser escrita como
\frac{d\omega}{dx} = \cos(x)\,\omega^{2},
logo é separável (podemos isolar \omega de um lado e x do outro). Também se encaixa na forma de Bernoulli com expoente n=2, pois \omega' = q(x)\,\omega^{n} com q(x)=\cos(x).

Passo 3

Separe as variáveis levando todos os \omega para o lado esquerdo e x para o direito:
\frac{d\omega}{\omega^{2}} = \cos(x)\,dx.

Passo 4

Integre ambos os lados:
\int \omega^{-2}\,d\omega = \int \cos(x)\,dx
-\,\omega^{-1} = \sin(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando \omega, obtemos
\omega^{-1} = -\,\sin(x) - C \quad\Longrightarrow\quad \omega(x) = \frac{1}{-\,\sin(x)-C}.
Reescrevendo a constante ( -C\to C), a forma mais habitual da solução é
\omega(x) = \frac{1}{C - \sin(x)}.

Resposta

A equação é de primeira ordem não linear, do tipo Bernoulli (índice 2) e também separável.
\omega(x) = \frac{1}{C - \sin(x)},
com C constante de integração.

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