Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
\omega^{\prime}=x-2 x \omega.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\omega' = x - 2\,x\,\omega
e pede (a) a classificação da EDO e (b) a sua solução geral. Vamos usar teoria de equações lineares de 1.º ordem (e também notar que ela é separável).

Passo 2

Esta EDO pode ser vista de várias formas:
  1. É uma EDO linear não homogênea de primeira ordem, pois pode ser posta como
\omega' + 2x\,\omega = x.
  1. É uma EDO separável, pois se escreve
\frac{d\omega}{dx} = x\,(1 - 2\omega) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\omega}{1 - 2\omega} = x\,dx.
  1. É um caso especial da equação de Bernoulli com n=0, já que o termo independente é proporcional a \omega^0.

Passo 3

Vamos resolver pela forma linear usando fator integrante. Na forma
\omega' + 2x\,\omega = x
o fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int 2x\,dx\Bigr) = e^{x^2}.
Multiplicando ambos os lados por \mu(x) obtemos
e^{x^2}\,\omega' + 2x\,e^{x^2}\,\omega = x\,e^{x^2} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(\omega\,e^{x^2}\bigr) = x\,e^{x^2}.

Passo 4

Integramos em x:
\omega(x)\,e^{x^2} = \int x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\,e^{x^2} + C,
onde C é constante arbitrária. Logo
\omega(x) = \frac{1}{2} + C\,e^{-x^2}.

Resposta

Classificação: EDO de 1.º ordem linear não homogênea (também separável e caso n=0 de Bernoulli).
Solução geral:
\omega(x) = \frac12 + C\,e^{-x^2}.

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