Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
\omega^{\prime}=\frac{\omega}{x}+\tan \left(\frac{\omega}{x}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
\omega' = \frac{\omega}{x} + \tan\!\Bigl(\frac{\omega}{x}\Bigr).
Essa é uma equação não-linear que depende apenas da razão \omega/x, ou seja, é do tipo homogênea
\omega' = F(\omega/x). Para resolvê-la, fazemos a substituição
v = \frac{\omega}{x}\,.

Passo 2

Como \omega = x\,v, temos
\frac{d\omega}{dx} = x\frac{dv}{dx} + v.
Substituindo na EDO original, obtemos
x\frac{dv}{dx} + v = v + \tan(v) \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx} = \tan(v).

Passo 3

Reescrevemos em forma separável:
\frac{dv}{dx} = \frac{\tan(v)}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{\tan(v)} = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{\cos(v)}{\sin(v)}\,dv = \int \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|\sin(v)\bigr| = \ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 5

Exponenciando e definindo K = e^C, segue
\sin(v) = K\,x \quad\Longrightarrow\quad v = \arcsin(Kx).
Voltando à variável original,
\omega(x) = x\,v = x\,\arcsin(Kx).

Resposta

A equação é de primeira ordem, não-linear e homogênea (depende de \omega/x).
A solução geral é
\omega(x) = x\,\arcsin(Kx),
onde K é constante arbitrária.

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