Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
\omega^{\prime}=-\frac{\omega}{x}+x^{5} \omega^{5}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\omega' = -\frac{\omega}{x} + x^{5}\,\omega^{5}
e pede (a) a classificação da EDO e (b) sua solução geral. O conteúdo principal aqui é a equação de Bernoulli, que tem forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão de Bernoulli:
\omega' + \frac{1}{x}\,\omega = x^{5}\,\omega^{5}.
Aqui P(x)=1/x, Q(x)=x^{5} e n=5. Logo é uma EDO de Bernoulli (não linear), que também poderia ser vista como primeira ordem não separável antes da transformação.

Passo 3

Aplicamos a substituição própria de Bernoulli:
v = \omega^{\,1-n} = \omega^{-4}.
Calculamos dv/dx em função de \omega e \omega':
\frac{dv}{dx} = -4\,\omega^{-5}\,\frac{d\omega}{dx}.
Substituindo \omega' da EDO original, obtemos
\frac{dv}{dx} = -4\,\omega^{-5}\Bigl(-\tfrac{\omega}{x} + x^{5}\,\omega^{5}\Bigr) = 4\,\frac{\omega^{-4}}{x} \;-\;4\,x^{5} = \frac{4}{x}\,v \;-\;4\,x^{5}.
Isso é uma equação linear em v:
\frac{dv}{dx} - \frac{4}{x}\,v = -4\,x^{5}.

Passo 4

Para resolver
\frac{dv}{dx} - \frac{4}{x}\,v = -4\,x^{5},
usamos fator integrante \mu(x)=\exp\bigl(-\!\int\frac{4}{x}dx\bigr)=x^{-4}. Multiplicando ambos os lados por x^{-4}
\frac{d}{dx}\bigl(v\,x^{-4}\bigr) = -4\,x^{5}\,x^{-4} = -4\,x.
Integrando em x:
v\,x^{-4} = \int(-4\,x)\,dx = -2\,x^{2} + C,
onde C é constante arbitrária. Assim
v = x^{4}\,\bigl(C - 2\,x^{2}\bigr).

Passo 5

Voltando à variável original \omega, lembramos que v=\omega^{-4}. Logo
\omega^{-4} = x^{4}\,\bigl(C - 2\,x^{2}\bigr).
Tomando a quarta raiz recíproca, obtemos a solução geral
\omega(x) = \pm\frac{1}{\bigl[x^{4}(C - 2\,x^{2})\bigr]^{1/4}} = \pm\frac{1}{x\,(C - 2\,x^{2})^{1/4}}.

Resposta

Classificação: EDO de Bernoulli (primeira ordem não linear, caso especial de y'+P(x)y=Q(x)y^{n}).
Solução geral:
\boxed{\omega(x)=\pm\frac{1}{x\,(C - 2\,x^{2})^{1/4}},}
onde C é constante de integração.

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