Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede (a) a classificação da EDO e (b) sua solução geral. O conteúdo principal aqui é a equação de Bernoulli, que tem forma
Passo 2
Reescrevemos a equação no formato padrão de Bernoulli:
Aqui
,
e
. Logo é uma EDO de Bernoulli (não linear), que também poderia ser vista como primeira ordem não separável antes da transformação.
Passo 3
Aplicamos a substituição própria de Bernoulli:
Calculamos
em função de
e
:
Substituindo
da EDO original, obtemos
Isso é uma equação linear em
:
Passo 4
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
dá
Integrando em
:
onde
é constante arbitrária. Assim
Passo 5
Voltando à variável original
, lembramos que
. Logo
Tomando a quarta raiz recíproca, obtemos a solução geral
Resposta
Classificação: EDO de Bernoulli (primeira ordem não linear, caso especial de
).
Solução geral:
Solução geral:
onde
é constante de integração.