Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
\omega^{\prime}=-\frac{\omega}{x+1}+x \omega^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver a EDO de primeira ordem
\omega'=-\frac{\omega}{x+1}+x\,\omega^{3}.
Trata-se de uma EDO não linear, da forma de Bernoulli. Para resolver, usaremos o método de Bernoulli.

Passo 2

Escrevemos em forma padrão
\omega' + P(x)\,\omega = Q(x)\,\omega^{n},
onde aqui P(x)=\frac{1}{x+1}, Q(x)=x e n=3.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \omega^{1-n} = \omega^{-2}.
Então
u' = -2\,\omega^{-3}\,\omega'.

Passo 4

Substituindo \omega' na expressão de u' obtemos uma EDO linear em u:
u' - \frac{2}{x+1}\,u = -2x.

Passo 5

Para resolver a EDO linear
u' - \frac{2}{x+1}\,u = -2x
calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(-\!\int\frac{2}{x+1}dx\Bigr)=(x+1)^{-2}.
Multiplicando tudo por (x+1)^{-2}, reconhecemos
\frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{-2}u\bigr)=-2x\,(x+1)^{-2}.

Passo 6

Integramos em x:
(x+1)^{-2}u = \int -2x\,(x+1)^{-2}dx = -2\ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + C.
Multiplicando por (x+1)^2,
u = C\,(x+1)^2 \;-\;2\,(x+1)^2\ln|x+1|\;-\;2\,(x+1).

Passo 7

Voltando a \omega pela relação \omega^{-2}=u, obtemos
\omega(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{\,C\,(x+1)^2-2\,(x+1)^2\ln|x+1|-2\,(x+1)\,}}.

Resposta

A equação é do tipo Bernoulli (expoente n=3) e sua solução geral é
\omega(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{C\,(x+1)^2-2\,(x+1)^2\ln|x+1|-2\,(x+1)}},
onde C é a constante de integração.

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