Exerćcio 15. Calcule:
\frac{1}{5}+\frac{4}{3}+\frac{2}{9};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma das três frações \frac{1}{5}, \frac{4}{3} e \frac{2}{9}. As informações dadas são apenas essas três frações e a intenção é obter um único resultado numérico (uma fração final, possivelmente na forma mista).

Passo 2

Método escolhido: somar frações usando o menor denominador comum (MMC) — também chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Explicação curta e didática do MMC: para somar frações é preciso que todas tenham o mesmo denominador; o MMC de um conjunto de denominadores é o menor número inteiro positivo que é múltiplo de todos eles. Aqui os denominadores são \,5\,,\,3\,,\,9.

Passo 3

Calcular o MMC de \,5\,,\,3\,,\,9. Fazer fatoração simples:
5=5,\qquad 3=3,\qquad 9=3^{2}.
Para o MMC, escolhe-se cada primo com o maior expoente presente: isso dá 5 (expoente 1) e 3^{2}. Então
\mathrm{MMC}=5\cdot 3^{2}=5\cdot 9=45.
Portanto vamos reescrever todas as frações com denominador \,45.

Passo 4

Converter cada fração para denominador \,45. Fazer passo a passo:
\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{9}{45},
\frac{4}{3}=\frac{4\cdot 15}{3\cdot 15}=\frac{60}{45},
\frac{2}{9}=\frac{2\cdot 5}{9\cdot 5}=\frac{10}{45}.
Explicação: multiplica-se numerador e denominador pelo mesmo número que transforma o denominador original em 45.

Passo 5

Somar as frações agora que têm o mesmo denominador: somam-se os numeradores e mantém-se o denominador comum:
\frac{9}{45}+\frac{60}{45}+\frac{10}{45}=\frac{9+60+10}{45}=\frac{79}{45}.

Passo 6

Verificar se a fração resultante pode ser simplificada. Procurar \gcd(79,45): 45 tem fatores 3 e 5; 79 não é múltiplo nem de 3 nem de 5 (na verdade 79 é primo). Logo \gcd(79,45)=1 e a fração já está na forma irredutível.

Passo 7

Opcional: escrever na forma mista para entendimento prático. Dividindo 79 por 45 obtém-se quociente 1 e resto 34, então
\frac{79}{45}=1+\frac{34}{45}=1\frac{34}{45}.

Resposta

\frac{79}{45}

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