Exercício 6. ( 00,15 ponto cada item ) Encontrar os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}\right];

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda (ou seja, x\to0^-) da expressão
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a expressão é definida para }x\neq0;ãé
\text{o ponto de interesse é }x=0\text{, aproximando-se por valores negativos (à esquerda).}éà

Passo 2

Primeiro vamos juntar as duas frações em uma única fração, usando denominador comum. Fazendo as contas:
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}=\frac{x^{2}}{x^{3}}-\frac{1}{x^{3}}=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}.

Passo 3

Simplificamos a expressão do numerador para entender melhor o sinal e o comportamento:
x^{2}-1=-(1-x^{2})=-(1-x)(1+x).
Portanto podemos escrever a função como
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}=\frac{-(1-x)(1+x)}{x^{3}}.

Passo 4

Agora analisamos os limites das partes quando x\to0^-.
  • O numerador x^{2}-1 tende para -1, pois x^{2}\to0 e 0-1=-1.
  • O denominador x^{3} tende para 0 e, como x aproxima-se de 0 pela esquerda, x é negativo pequeno, logo x^{3} também é negativo pequeno (porque potência ímpar preserva o sinal).
Assim, quando x\to0^- temos numerador aproximando-se de -1 (valor negativo fixo) e denominador aproximando-se de 0 pela esquerda (valor negativo com módulo muito pequeno). Dividir um número negativo próximo de -1 por um número negativo muito pequeno dá um resultado positivo com módulo muito grande — ou seja, cresce sem limite.

Passo 5

Para reforçar a análise, podemos fazer a substituição x=-t com t>0 e t\to0^+. Então
\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}=\frac{1}{-t}-\frac{1}{-t^{3}}=-\frac{1}{t}+ \frac{1}{t^{3}}=\frac{1}{t^{3}}-\frac{1}{t}.
Para t pequeno e positivo, \frac{1}{t^{3}} domina \frac{1}{t} e é positivo grande, logo a diferença tende a +\infty. Isso confirma o raciocínio do passo anterior.

Passo 6

Conclusão: a expressão cresce sem limite positivo quando x se aproxima de 0 pela esquerda. Em termos de limites, dizemos que o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados