Exercício 6. ( 00,15 ponto cada item ) Encontrar os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
se aproxima de
pela esquerda (ou seja,
) da expressão
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Primeiro vamos juntar as duas frações em uma única fração, usando denominador comum. Fazendo as contas:
Passo 3
Simplificamos a expressão do numerador para entender melhor o sinal e o comportamento:
Portanto podemos escrever a função como
Passo 4
Agora analisamos os limites das partes quando
.
- O numerador
tende para , pois e . - O denominador
tende para e, como aproxima-se de pela esquerda, é negativo pequeno, logo também é negativo pequeno (porque potência ímpar preserva o sinal).
Assim, quando
temos numerador aproximando-se de
(valor negativo fixo) e denominador aproximando-se de
pela esquerda (valor negativo com módulo muito pequeno). Dividir um número negativo próximo de
por um número negativo muito pequeno dá um resultado positivo com módulo muito grande — ou seja, cresce sem limite.
Passo 5
Para reforçar a análise, podemos fazer a substituição
com
e
. Então
Para
pequeno e positivo,
domina
e é positivo grande, logo a diferença tende a
. Isso confirma o raciocínio do passo anterior.
Passo 6
Conclusão: a expressão cresce sem limite positivo quando
se aproxima de
pela esquerda. Em termos de limites, dizemos que o limite é
.