Exercício 1. (00,70 ponto cada item ) Calcular detalhadamente cada uma das seguintes antiderivadas:
\int \sin ^{3}(5 \theta) \cos ^{4}(5 \theta) d \theta;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin^{3}(5\theta)\,\cos^{4}(5\theta)\,d\theta
Trata-se de uma antiderivada de função trigonométrica com potências de seno e cosseno. Vamos usar a técnica de separar um fator para a substituição e aproveitar a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x.

Passo 2

Escrevemos
\sin^{3}(5\theta)\,\cos^{4}(5\theta) =\bigl(\sin^{2}(5\theta)\bigr)\,\sin(5\theta)\,\cos^{4}(5\theta)
e substituímos \sin^{2}(5\theta)=1-\cos^{2}(5\theta), obtendo
\bigl(1-\cos^{2}(5\theta)\bigr)\,\sin(5\theta)\,\cos^{4}(5\theta).

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u=\cos(5\theta), \quad du=-5\,\sin(5\theta)\,d\theta \;\Longrightarrow\; \sin(5\theta)\,d\theta=-\frac{1}{5}\,du.

Passo 4

Substituindo na integral, vem
\int \sin^{3}(5\theta)\,\cos^{4}(5\theta)\,d\theta =-\frac{1}{5} \int (1-u^{2})\,u^{4}\,du =-\frac{1}{5} \int (u^{4}-u^{6})\,du.

Passo 5

Agora integramos em u:
-\tfrac{1}{5}\int (u^{4}-u^{6})\,du =-\tfrac{1}{5}\Bigl(\tfrac{u^{5}}{5}-\tfrac{u^{7}}{7}\Bigr)+C =-\frac{u^{5}}{25}+\frac{u^{7}}{35}+C.

Passo 6

Voltando à variável original \theta com u=\cos(5\theta), obtemos a antiderivada final.

Resposta

\int \sin^{3}(5\theta)\,\cos^{4}(5\theta)\,d\theta =-\frac{\cos^{5}(5\theta)}{25}+\frac{\cos^{7}(5\theta)}{35}+C.

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