Exercício 1. (00,70 ponto cada item ) Calcular detalhadamente cada uma das seguintes antiderivadas:
\int \tan ^{4}(t) \operatorname{sec} ^{2}(t) d t;

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função \tan^{4}(t)\,\operatorname{sec}^{2}(t). O conteúdo aqui é integração por substituição, aproveitando que a derivada de \tan(t) é \operatorname{sec}^{2}(t).

Passo 2

Observamos que a presença de \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt sugere definir uma nova variável que torne a integral em potência de uma única função. Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl(\tan(t)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}(t).

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \tan(t), \quad du = \operatorname{sec}^{2}(t)\,dt.
Assim a integral original
\int \tan^{4}(t)\,\operatorname{sec}^{2}(t)\,dt
fica
\int u^{4}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar uma potência de u:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.

Passo 5

Voltando à variável t, temos u=\tan(t), logo
\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{\tan^{5}(t)}{5} + C.

Resposta

\frac{\tan^{5}(t)}{5} + C

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