Exercício 1. (00,70 ponto cada item ) Calcular detalhadamente cada uma das seguintes antiderivadas:
\int \frac{y}{4-y^{2}} d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
\int \frac{y}{4 - y^{2}}\,dy.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois no denominador aparece uma função quadrática cuja derivada está (proporcionalmente) no numerador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4 - y^{2},
cuja diferencial é
du = -2y\,dy \quad\Longrightarrow\quad y\,dy = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Fazendo a troca na integral original, temos
\int \frac{y}{4 - y^{2}}\,dy = \int \frac{1}{u}\,\bigl(y\,dy\bigr) = \int \frac{1}{u}\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) = -\tfrac12\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Reconhecendo que
\int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C,
obtemos
-\tfrac12\int \frac{du}{u} = -\tfrac12\,\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original y, substituímos u = 4 - y^{2} e chegamos a
-\tfrac12\,\ln\bigl|4 - y^{2}\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{y}{4 - y^{2}}\,dy = -\tfrac12\,\ln\bigl|4 - y^{2}\bigr| + C.

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