Exercício 2. (oo,80 ponto cada item ) Calcular detalhadamente cada uma das seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{3 / 2} \frac{x+3}{2 x^{3}-8 x} d x;

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular detalhadamente a integral
\int_{1}^{3/2} \frac{x+3}{2x^3-8x}\,dx.
Aqui o conteúdo é integração de função racional pelo método de frações parciais. Para resolver, precisamos fatorar o denominador, montar a decomposição em partes simples, integrar cada termo e depois avaliar nos limites de x=1 e x=3/2.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
2x^3 -8x = 2x\,(x^2-4) = 2x\,(x-2)\,(x+2).
Logo podemos escrever
\frac{x+3}{2x(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por 2x(x-2)(x+2)\) obtemos \[x+3 = A\cdot 2(x-2)(x+2) + B\cdot 2x(x+2) + C\cdot 2x(x-2).
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de x:
x+3 = 2A(x^2-4) + 2B(x^2+2x) + 2C(x^2-2x) = 2(A+B+C)x^2 + 2\bigl(B-C\bigr)\,2x -8A.
Comparando com x+3 = 0\cdot x^2 +1\cdot x +3 temos o sistema
\begin{cases} 2(A+B+C) = 0,\\\\ 4\,(B-C) = 1,\\\\ -8A = 3. \end{cases}
Da última equação vem A=-3/8\]. Das duas primeiras, \(A+B+C=0 implica B+C=3/8, e B-C=1/4=2/8.
Somando e subtraindo essas duas dá
B = \tfrac{5}{16}, \quad C = \tfrac{1}{16}.
Assim a decomposição é
\frac{x+3}{2x^3-8x} = -\frac{3}{8}\,\frac1x + \frac{5}{16}\,\frac1{x-2} + \frac{1}{16}\,\frac1{x+2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{x+3}{2x^3-8x}\,dx = -\frac{3}{8}\int \frac{dx}{x} + \frac{5}{16}\int \frac{dx}{x-2} + \frac{1}{16}\int \frac{dx}{x+2}.
Cada uma é um logaritmo natural:
=-\frac{3}{8}\ln|x| + \frac{5}{16}\ln|x-2| + \frac{1}{16}\ln|x+2| + C.

Passo 4

Vamos avaliar de x=1 até x=3/2. Chamando
F(x) =-\tfrac{3}{8}\ln|x| + \tfrac{5}{16}\ln|x-2| + \tfrac{1}{16}\ln|x+2|,
temos
I = F\bigl(\tfrac32\bigr) - F(1).
Calculemos cada termo:
Para x=3/2:
F\bigl(\tfrac32\bigr) =-\tfrac{3}{8}\ln\!\bigl(\tfrac32\bigr) + \tfrac{5}{16}\ln\!\bigl|\!-\tfrac12\bigl| + \tfrac{1}{16}\ln\!\bigl(\tfrac72\bigr) =-\tfrac{3}{8}\ln\!\bigl(\tfrac32\bigr) - \tfrac{5}{16}\ln2 + \tfrac{1}{16}\bigl(\ln7 - \ln2\bigr).
Para x=1:
F(1) =-\tfrac{3}{8}\ln1 + \tfrac{5}{16}\ln|{-1}| + \tfrac{1}{16}\ln3 =0 + 0 + \tfrac{1}{16}\ln3.
Simplificando e subtraindo, chega-se a
I = -\tfrac{7}{16}\ln3 + \tfrac{1}{16}\ln7 = \tfrac{1}{16}\bigl(\ln7 - 7\ln3\bigr).

Resposta

\int_{1}^{3/2} \frac{x+3}{2x^3-8x}\,dx = \frac{1}{16}\,\bigl(\ln7 - 7\ln3\bigr).

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