Exercício 2. (oo,80 ponto cada item ) Calcular detalhadamente cada uma das seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{5}(\theta) \operatorname{sec} ^{3}(\theta) d \theta;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} \tan^{5}(\theta)\,\operatorname{sec}^{3}(\theta)\,d\theta.
O conteúdo envolvido é integração de potências de \tan e \operatorname{sec}. Vamos usar uma substituição do tipo u=\operatorname{sec}(\theta), pois d(\operatorname{sec}\theta)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 2

Separe o integrando de modo a ter um fator \operatorname{sec}(\theta)\tan(\theta)\,d\theta, que será exatamente du. Escreva
\tan^{5}(\theta)\,\operatorname{sec}^{3}(\theta) =\bigl[\tan^{4}(\theta)\,\operatorname{sec}^{2}(\theta)\bigr]\;\bigl[\operatorname{sec}(\theta)\tan(\theta)\bigr].

Passo 3

Use a identidade \tan^{2}(\theta)=\operatorname{sec}^{2}(\theta)-1 para reescrever
\tan^{4}(\theta)\,\operatorname{sec}^{2}(\theta) =\bigl(\operatorname{sec}^{2}(\theta)-1\bigr)^{2}\,\operatorname{sec}^{2}(\theta).
Com a substituição
u = \operatorname{sec}(\theta), \qquad du = \operatorname{sec}(\theta)\tan(\theta)\,d\theta,
o integrando torna-se
\bigl(\operatorname{sec}^{2}\theta-1\bigr)^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\;du =(u^{2}-1)^{2}u^{2}\,du.

Passo 4

Mude também os limites de integração. Quando \theta=0, \operatorname{sec}(0)=1. Quando \theta=\pi/4, \operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt2. Logo a integral vira
\int_{1}^{\sqrt2}(u^{2}-1)^{2}\,u^{2}\,du.

Passo 5

Expanda o polinômio:
(u^{2}-1)^{2}u^{2} =(u^{4}-2u^{2}+1)\,u^{2} =u^{6}-2u^{4}+u^{2}.
Então
\int_{1}^{\sqrt2}(u^{6}-2u^{4}+u^{2})\,du =\Bigl[\tfrac{u^{7}}{7}-\tfrac{2u^{5}}{5}+\tfrac{u^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{\sqrt2}.

Passo 6

Calcule o valor no extremo superior u=\sqrt2:
\tfrac{(\sqrt2)^{7}}{7}-\tfrac{2(\sqrt2)^{5}}{5}+\tfrac{(\sqrt2)^{3}}{3} =\tfrac{8\sqrt2}{7}-\tfrac{8\sqrt2}{5}+\tfrac{2\sqrt2}{3} =\tfrac{120\sqrt2-168\sqrt2+70\sqrt2}{105} =\tfrac{22\sqrt2}{105}.
No extremo inferior u=1:
\tfrac{1^{7}}{7}-\tfrac{2\cdot1^{5}}{5}+\tfrac{1^{3}}{3} =\tfrac{1}{7}-\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{3} =\tfrac{15-42+35}{105} =\tfrac{8}{105}.

Passo 7

Subtraia os dois resultados:
\int_{0}^{\pi/4}\tan^{5}\theta\,\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\tfrac{22\sqrt2}{105}-\tfrac{8}{105} =\tfrac{22\sqrt2-8}{105}.

Resposta

\int_{0}^{\pi/4}\tan^{5}(\theta)\,\operatorname{sec}^{3}(\theta)\,d\theta =\frac{22\sqrt2-8}{105}.

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