Exercício 1. ( 01,00 ponto cada item ) São dados os seguintes nós de interpolação de uma função :
Obter o polinômio interpolador de
resolvendo um ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá alguns pontos de uma função f e pede para encontrarmos o polinômio interpolador dessa função. Isso significa que queremos achar um polinômio que passe exatamente por todos esses pontos. Para isso, vamos usar um sistema de equações lineares ( SE L^1 ). Vamos precisar montar esse sistema usando os pontos dados e resolver para encontrar os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que o polinômio interpolador p(x) tem a forma geral:
p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3
Aqui, a0, a1, a2 e a3 são os coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos fornecidos para montar as equações. Para cada par (xi, f(xi)) , substituímos xi em p(x) e igualamos a f(xi) .
Para x = -1 :
a0 + a1(-1) + a2(-1)^2 + a3(-1)^3 = -5 Rightarrow a0 - a1 + a2 - a3 = -5
Para x = 1 :
a0 + a1(1) + a2(1)^2 + a3(1)^3 = -1 Rightarrow a0 + a1 + a2 + a3 = -1
Para x = 2 :
a0 + a1(2) + a2(2)^2 + a3(2)^3 = 1 Rightarrow a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 1
Para x = 3 :
a0 + a1(3) + a2(3)^2 + a3(3)^3 = 3 Rightarrow a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 = 3

Passo 4

Agora, temos um sistema de 4 equações com 4 incógnitas:
a0 - a1 + a2 - a3 = -5 a0 + a1 + a2 + a3 = -1 a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 1 a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 = 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar o sistema. Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a0 :
(a0 + a1 + a2 + a3) - (a0 - a1 + a2 - a3) = -1 - (-5) Rightarrow 2a1 + 2a3 = 4 Rightarrow a1 + a3 = 2 (1)

Passo 6

Agora, subtraímos a segunda equação da terceira:
(a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3) - (a0 + a1 + a2 + a3) = 1 - (-1) Rightarrow a1 + 3a2 + 7a3 = 2 (2)
E subtraímos a terceira equação da quarta:
(a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3) - (a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3) = 3 - 1 Rightarrow a1 + 5a2 + 19a3 = 2 (3)

Passo 7

Agora, temos um sistema menor com 3 equações:
a1 + a3 = 2 (1) a1 + 3a2 + 7a3 = 2 (2) a1 + 5a2 + 19a3 = 2 (3)
Vamos usar a equação (1) para expressar a1 :
a1 = 2 - a3 (4)

Passo 8

Substituímos a1 da equação (4) na equação (2):
(2 - a3) + 3a2 + 7a3 = 2 Rightarrow 2 + 3a2 + 6a3 = 2 Rightarrow 3a2 + 6a3 = 0 Rightarrow a2 + 2a3 = 0 (5)
Fazemos o mesmo para a equação (3):
(2 - a3) + 5a2 + 19a3 = 2 Rightarrow 2 + 5a2 + 18a3 = 2 Rightarrow 5a2 + 18a3 = 0 (6)

Passo 9

Agora, temos um sistema com 2 equações:
a2 + 2a3 = 0 (5) 5a2 + 18a3 = 0 (6)
Vamos resolver a equação (5) para a2 :
a2 = -2a3 (7)
Substituímos a2 da equação (7) na equação (6):
5(-2a3) + 18a3 = 0 Rightarrow -10a3 + 18a3 = 0 Rightarrow 8a3 = 0 Rightarrow a3 = 0

Passo 10

Agora que sabemos que a3 = 0 , voltamos para a equação (7):
a2 = -2(0) Rightarrow a2 = 0
E para a equação (4):
a1 = 2 - 0 Rightarrow a1 = 2

Passo 11

Por fim, substituímos a1 = 2 , a2 = 0 e a3 = 0 em qualquer uma das equações originais para encontrar a0 . Vamos usar a segunda equação:
a0 + a1 + a2 + a3 = -1 a0 + 2 + 0 + 0 = -1 Rightarrow a0 = -1 - 2 Rightarrow a0 = -3

Resposta

O polinômio interpolador de f é:
p(x) = -3 + 2x

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