Exercício 1. ( 01,00 ponto cada item ) São dados os seguintes nós de interpolação de uma função
:
Obter o polinômio interpolador de
pelo método de Newton.
pelo método de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação usando o método de Newton. A gente tem uma função
com alguns pontos conhecidos:
O objetivo é encontrar um polinômio que passe por todos esses pontos. Para isso, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton, que nos ajuda a construir esse polinômio passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a tabela de diferenças divididas. Essa tabela vai nos ajudar a calcular os coeficientes do polinômio. Vamos começar organizando os valores de
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as primeiras diferenças divididas (Diferença 1). A fórmula para a diferença dividida de ordem 1 entre dois pontos é:
Calculando para os primeiros pares:
- Entre
e :
- Entre
e :
- Entre
e :
Atualizando a tabela:
Passo 4
Agora, vamos calcular as diferenças divididas de segunda ordem (Diferença 2). A fórmula para a diferença dividida de ordem 2 é:
Como todas as Diferenças 1 são iguais a
, a Diferença 2 será:
Atualizando a tabela:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a diferença dividida de terceira ordem (Diferença 3). A fórmula é:
Como tanto a Diferença 2 quanto a Diferença 1 são constantes, a Diferença 3 será:
Atualizando a tabela final:
Passo 6
Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos montar o polinômio interpolador de Newton. A fórmula geral é:
No nosso caso, como a Diferença 3 é zero, o polinômio terá até o termo de segunda ordem:
Simplificando:
Resposta
O polinômio interpolador de
pelo método de Newton é: