Exercício 1. ( 01,00 ponto cada item ) São dados os seguintes nós de interpolação de uma função :
Obter o polinômio interpolador de
pelo método de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação usando o método de Newton. A gente tem uma função com alguns pontos conhecidos:
O objetivo é encontrar um polinômio que passe por todos esses pontos. Para isso, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton, que nos ajuda a construir esse polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a tabela de diferenças divididas. Essa tabela vai nos ajudar a calcular os coeficientes do polinômio. Vamos começar organizando os valores de e :

Passo 3

Agora, vamos calcular as primeiras diferenças divididas (Diferença 1). A fórmula para a diferença dividida de ordem 1 entre dois pontos é:
Calculando para os primeiros pares:
  • Entre e :
  • Entre e :
  • Entre e :
Atualizando a tabela:

Passo 4

Agora, vamos calcular as diferenças divididas de segunda ordem (Diferença 2). A fórmula para a diferença dividida de ordem 2 é:
Como todas as Diferenças 1 são iguais a , a Diferença 2 será:
Atualizando a tabela:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a diferença dividida de terceira ordem (Diferença 3). A fórmula é:
Como tanto a Diferença 2 quanto a Diferença 1 são constantes, a Diferença 3 será:
Atualizando a tabela final:

Passo 6

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos montar o polinômio interpolador de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + dots
No nosso caso, como a Diferença 3 é zero, o polinômio terá até o termo de segunda ordem:
P(x) = -5 + 2(x + 1) + 0(x + 1)(x - 1)
Simplificando:
P(x) = -5 + 2x + 2 = 2x - 3

Resposta

O polinômio interpolador de f pelo método de Newton é:
P(x) = 2x - 3

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