Exercício 3. ( 02,50 pontos ) Seja f(x)=e^2 x definida de R em R. Seja o número
I=integral0^1 f(x) d x
calcular a integral I pelo emprego da primitiva de f e estimar o erro exato;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função f(x) = e^2x definida para todos os números reais. A gente precisa calcular a integral definida dessa função de 0 a 1, ou seja:
I = integral0^1 e^2x , dx
Para resolver isso, vamos usar o conceito de primitiva (ou antiderivada) da função, que é uma das ferramentas básicas do cálculo integral. Além disso, vamos também estimar o erro exato da nossa aproximação, garantindo que nossa resposta seja precisa.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primitiva de f(x) = e^2x . A primitiva de uma função e^kx é 1k e^kx + C , onde C é a constante de integração. No nosso caso, k = 2 , então:
F(x) = 12 e^2x + C
Essa função F(x) é a primitiva de f(x) .

Passo 3

Agora que temos a primitiva, podemos calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Aplicando isso ao nosso caso, onde a = 0 e b = 1 :
I = F(1) - F(0)
Vamos calcular cada parte:
F(1) = 12 e^2 times 1 = 12 e^2
F(0) = 12 e^2 times 0 = 12 e^0 = 12

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão para I :
I = 12 e^2 - 12 = 12 (e^2 - 1)
Isso nos dá o valor exato da integral.

Passo 5

Agora, sobre a estimativa do erro exato. Como usamos a primitiva para calcular a integral definida, que é um método analítico, a resposta que obtivemos é exata. Portanto, o erro é zero.

Resposta

A integral é igual a 12 (e^2 - 1) e o erro é zero.

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