Exercício 3. ( 02,50 pontos ) Seja f(x)=e^2 x definida de R em R. Seja o número
I=integral0^1 f(x) d x
calcular I pela regra dos trapézios repetida empregando 10 subintervalos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração usando a Regra dos Trapézios Repetida. A gente precisa calcular a integral de f(x) = e^2x de 0 a 1, dividindo esse intervalo em 10 partes iguais. Isso vai nos ajudar a aproximar o valor da integral de forma bem intuitiva.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo [0, 1] em 10 subintervalos iguais. Para isso, calculamos o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de h :
h = b - an = 1 - 010 = 0,1
Então, cada subintervalo tem comprimento 0,1.

Passo 3

A Regra dos Trapézios Repetida é uma técnica para aproximar integrais definidas. A fórmula geral é:
I approx h [ f(x0) + f(xn)2 + sumi=1^n-1 f(xi) ]
Aqui, x0 = 0 e x10 = 1 .

Passo 4

Agora, vamos determinar os pontos xi onde vamos avaliar a função:
xi = a + i cdot h
Para i = 0 a i = 10 :
x0 = 0, x1 = 0,1, x2 = 0,2, ldots, x10 = 1

Passo 5

Vamos calcular f(xi) = e^2xi para cada xi :
f(x0) = e^0 = 1
f(x1) = e^0,2 approx 1,2214
f(x2) = e^0,4 approx 1,4918
vdots
f(x10) = e^2 approx 7,3891

Passo 6

Aplicando a fórmula da Regra dos Trapézios:
I approx 0,1 [ 1 + 7,38912 + (1,2214 + 1,4918 + ldots + 5,4598) ]
Vamos somar todos os f(xi) de i = 1 a i = 9 .

Passo 7

Calculando a soma:
sumi=1^9 f(xi) approx 1,2214 + 1,4918 + 1,8221 + 2,2255 + 2,7183 + 3,2981 + 4,0487 + 4,9787 + 6,0502 approx 23,0565
Agora, substituímos na fórmula:
I approx 0,1 [ 8,38912 + 23,0565 ] = 0,1 [ 4,19455 + 23,0565 ] = 0,1 times 27,25105 approx 2,7251

Resposta

O valor aproximado da integral I usando a Regra dos Trapézios Repetida com 10 subintervalos é 2,7251.

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