Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0, sujeita a y(0)=-1 e y^{\prime}(0)=-1;

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y″ + y′ − 2 y =0
com condições y(0) = −1 e y′(0) = −1.
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
r^2 + r - 2 = 0.
Resolvendo essa equação, fatoramos
r^2 + r - 2 = (r - 1)(r + 2) = 0
e obtemos as raízes
r_1 = 1,\quad r_2 = -2.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C\,e^{r_1 x} + D\,e^{r_2 x} = C\,e^{x} + D\,e^{-2x},
onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos y(0)\) e \(y'(0)\) e igualamos aos valores dados: \[y(0) = C + D = -1,
e
y'(x) = C\,e^{x} - 2D\,e^{-2x} \;\Longrightarrow\; y'(0) = C - 2D = -1.
Temos o sistema para C e D:
\begin{cases} C + D = -1,\\\ C - 2D = -1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos -3D = 0\], logo \(D = 0. Em seguida, C = -1.

Resposta

y(x) = -e^{x}.

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