Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
\frac{d y}{d t}=-\frac{5}{2} t, sujeita a y(-1)=-3;

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI \displaystyle \frac{dy}{dt} = -\frac{5}{2}\,t
com condição inicial y(-1)=-3.
O conteúdo é EDO de 1ª ordem em que a derivada depende só de t, então basta integrar em relação a t.

Passo 2

Integramos ambos os lados:
\int dy = \int -\frac{5}{2}\,t\,dt
Isso dá
y(t) = -\frac{5}{2}\,\frac{t^2}{2} + C = -\frac{5}{4}\,t^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos y(-1)=-3. Substituindo t=-1 em y(t)=-\tfrac{5}{4}t^2+C:
-\frac{5}{4}\cdot(-1)^2 + C = -3 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{5}{4} + C = -3 \quad\Longrightarrow\quad C = -3 + \frac{5}{4} = -\frac{7}{4}.

Resposta

y(t) = -\frac{5}{4}\,t^2 \;-\;\frac{7}{4}.

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