Exercício 6. ( 01,20 ponto ) Obter a solução geral da seguinte equação diferencial
t y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2, \quad \text { com } t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
t\,y'' + y' = 2,\quad t>0.
Como o coeficiente de y'' depende de t, mas não aparece y nem funções não lineares de y', podemos usar a redução de ordem definindo
v = y'.

Passo 2

Substituindo v=y' temos y''=v'. A equação torna-se uma equação de primeira ordem em v:
t\,v' + v = 2.
Esta é linear em v, com coeficiente de v' igual a t e termo não homogêneo constante.

Passo 3

Para resolver
t\,v' + v = 2
dividimos por t (válido pois t>0) obtendo
v' + \frac{1}{t}\,v = \frac{2}{t}.
O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \tfrac{1}{t}\,dt\Bigr) = t.
Multiplicando toda a equação por t temos
t\,v' + v = 2 \quad\Longrightarrow\quad (t\,v)' = 2.
Integrando em relação a t:
t\,v = 2t + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad v = 2 + \frac{C_{1}}{t}.

Passo 4

Voltando a v=y', integramos
y' = 2 + \frac{C_{1}}{t}
para achar y:
y = \int \Bigl(2 + \frac{C_{1}}{t}\Bigr)\,dt = 2t + C_{1}\ln t + C_{2},
onde C_{2} é nova constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é
y(t) = 2t + C_{1}\ln t + C_{2}, \quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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