Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
y^{\prime}=\left(e^{x}-3 x^{2}\right) /(5-2 y), sujeita a y(0)=-2.

Passo 1

O enunciado nos dá a PVI
y' = \frac{e^{x} - 3x^{2}}{5 - 2y},
com condição inicial y(0) = -2.
Esse é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis.

Passo 2

Vamos separar variáveis, multiplicando ambos os lados por (5-2y)\,dx:
(5 - 2y)\,dy = (e^{x} - 3x^{2})\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int (5 - 2y)\,dy = \int (e^{x} - 3x^{2})\,dx.
Calculando cada integral:
\int 5\,dy = 5y,\quad \int 2y\,dy = y^{2},
\int e^{x}\,dx = e^{x},\quad \int 3x^{2}\,dx = x^{3}.
Logo obtemos
5y - y^{2} = e^{x} - x^{3} + C.

Passo 4

Usamos y(0) = -2 para achar C. Em x=0 e y=-2:
5(-2) - (-2)^{2} = -10 - 4 = -14,
e^{0} - 0^{3} + C = 1 + C.
Igualando, -14 = 1 + C C = -15. Portanto
5y - y^{2} = e^{x} - x^{3} - 15.

Passo 5

Reescrevendo como equação quadrática em y:
y^{2} - 5y + \bigl(e^{x} - x^{3} - 15\bigr) = 0.
Pela fórmula de Bhaskara:
y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4\,(e^{x} - x^{3} - 15)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{85 + 4x^{3} - 4e^{x}}}{2}.
Para y(0)=-2 escolhemos o sinal “ -”, pois \sqrt{85 -4\cdot1 +0}=9 e (5 - 9)/2 = -2.

Resposta

y(x) = \frac{5 - \sqrt{85 + 4x^{3} - 4e^{x}}}{2}.

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