Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
x d x+y e^{-x} d y=0, sujeita a y(0)=-1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x\,dx + y\,e^{-x}\,dy = 0,
com condição y(0)=-1.
Este é um EDO de primeira ordem que vamos tratar como equação separável de variáveis.

Passo 2

Para separar as variáveis, multiplicamos a equação por e^x, obtendo
x\,e^x\,dx + y\,dy = 0.
Reagrupando, fica
y\,dy = -\,x\,e^x\,dx,
onde já estão as variáveis separadas: y de um lado e x do outro.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
à esquerda
\int y\,dy = \frac{y^2}{2},
à direita, por partes em \int x e^x\,dx com u=x, dv=e^x\,dx, obtemos
\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = e^x(x-1).
Logo a integral completa é
\frac{y^2}{2} = -\,e^x(x-1) + C.

Passo 4

Usamos y(0)=-1 em
\frac{(-1)^2}{2} = -\,e^0(0-1) + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2} = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac12.
Substituindo em \frac{y^2}{2} = -\,e^x(x-1)+C e multiplicando por 2, vem
y^2 = -2\,e^x(x-1) -1 = 2\,e^x(1-x) -1.

Passo 5

Para satisfazer y(0)=-1, escolhemos o sinal negativo da raiz. Portanto a solução explícita é
y(x) = -\sqrt{\,2\,e^x(1-x)\;-\;1\,}.

Resposta

y(x) = -\sqrt{\,2\,e^x(1-x)\;-\;1\,}.

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