Sejam os conjuntos A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} e C=\{4,5,6,7\}. Determine:
A \cap(B \cap \varnothing)

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} e C=\{4,5,6,7\},
e pede para determinar a expressão
A \cap (B \cap \varnothing).
As informações relevantes são os elementos de A e B, e o fato de aparecer o conjunto vazio \varnothing.

Passo 2

Definição prática de interseção: dado quaisquer conjuntos X e Y, o elemento x pertence a X\cap Y exatamente quando x\in X e x\in Y ao mesmo tempo. Em linguagem simbólica:
x\in X\cap Y \iff (x\in X)\land(x\in Y).
Isso quer dizer que X\cap Y contém somente os elementos que são comuns a X e Y.

Passo 3

Avaliar primeiro a parte interna B\cap\varnothing. Pelo item anterior, um elemento x pertence a B\cap\varnothing se, e somente se, x\in B e x\in\varnothing.
Mas, por definição, não existe nenhum x tal que x\in\varnothing. Logo a condição x\in\varnothing é sempre falsa, e assim não existe x que satisfaça simultaneamente x\in B e x\in\varnothing. Portanto
B\cap\varnothing=\varnothing.

Passo 4

Substituindo o resultado obtido na expressão original:
A\cap(B\cap\varnothing)=A\cap\varnothing.
Usando o mesmo raciocínio do passo anterior, nenhum elemento pode pertencer a \varnothing, então não há elemento que esteja em A e em \varnothing ao mesmo tempo. Portanto
A\cap\varnothing=\varnothing.

Passo 5

Observação geral (útil para provas): para qualquer conjunto X vale a propriedade
X\cap\varnothing=\varnothing.
A demonstração é exatamente o argumento lógico usado nos passos 3 e 4: não existe elemento em \varnothing, então não há interseção não-vazia.

Resposta

\varnothing

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