Exercício 01: Mostre que as seguintes proposições são tautológicas:
Passo 1
O enunciado dá a seguinte fórmula composta e pede para mostrar que ela é tautológica (ou seja, verdadeira para todo valor de verdade de
):
Informação fornecida: a expressão acima é a única que precisamos avaliar. Pergunta: mostrar que essa expressão é uma tautologia.
Passo 2
Antes de começar a manipular, vamos lembrar (de forma prática e direta) o significado dos conectivos que aparecem, para usar sem medo na prova:
-
é a negação de : se é verdadeira ( ), então é falsa ( ), e vice‑versa. -
é a conjunção: é verdadeira só quando e são verdadeiros. -
é a bicondicional (equivalência): vale quando e têm o mesmo valor de verdade (ambos ou ambos ); vale quando têm valores diferentes.
Uma forma útil de lembraré:
Passo 3
Primeiro método (mais direto): calcular valores de verdade para os dois casos possíveis de
— isso é equivalente a construir a tabela-verdade, mas feito passo a passo.
Caso 1: suponha
.
-
. -
. -
(são diferentes). - Finalmente
.
Caso 2: suponha
.
-
. -
. -
(são iguais). - Finalmente
.
Concluímos: para
a fórmula vale
e para
também vale
. Portanto a fórmula é verdadeira em todos os casos — é uma tautologia.
Passo 4
Segundo método (mais simbólico): usar equivalências lógicas para simplificar a fórmula, que é útil em provas quando a tabela-verdade é cansativa.
Observação útil:
é uma contradição — ela é sempre falsa para qualquer
. Usamos um símbolo para isso:
Explicação curta: a conjunção de uma proposição com sua negação nunca pode ser verdadeira.
Passo 5
Substituindo
na expressão original:
Agora mostramos que
é logicamente equivalente a
. Usando a equivalência da bicondicional:
Mas
e
, então
Logo
.
Passo 6
Substituindo essa equivalência de volta:
E qualquer bicondicional entre uma fórmula e ela mesma é sempre verdadeira:
Assim a expressão toda simplifica para
, ou seja, é tautologia.
Passo 7
Resumo e dica para a prova: você pode mostrar que a expressão é tautologia por tabela-verdade (dois casos, porque só há uma proposição
) ou por transformações lógicas rápidas:
- notar que
é , - então
vira , - e isso é
, - logo a fórmula vira
, tautologia.
Na prova, escolha o método que te der menos chance de erro — aqui ambos são curtinhos.
Resposta
A fórmula
é uma tautologia.