Exercício 01: Mostre que as seguintes proposições são tautológicas:
(p \leftrightarrow p \wedge \neg p) \leftrightarrow \neg p

Passo 1

O enunciado dá a seguinte fórmula composta e pede para mostrar que ela é tautológica (ou seja, verdadeira para todo valor de verdade de p):
\bigl(p \leftrightarrow (p \wedge \neg p)\bigr) \leftrightarrow \neg p.
Informação fornecida: a expressão acima é a única que precisamos avaliar. Pergunta: mostrar que essa expressão é uma tautologia.

Passo 2

Antes de começar a manipular, vamos lembrar (de forma prática e direta) o significado dos conectivos que aparecem, para usar sem medo na prova:
  • \neg A é a negação de A: se A é verdadeira ( \top), então \neg A é falsa ( \bot), e vice‑versa.
  • A \wedge B é a conjunção: é verdadeira só quando A e B são verdadeiros.
  • A \leftrightarrow B é a bicondicional (equivalência): vale \top quando A e B têm o mesmo valor de verdade (ambos \top ou ambos \bot); vale \bot quando têm valores diferentes.
    Uma forma útil de lembrar A \leftrightarrow B é:
A \leftrightarrow B \equiv (A \wedge B)\\ \vee\\ (\neg A \wedge \neg B).

Passo 3

Primeiro método (mais direto): calcular valores de verdade para os dois casos possíveis de p — isso é equivalente a construir a tabela-verdade, mas feito passo a passo.
Caso 1: suponha p=\top.
  • \neg p = \neg\top = \bot.
  • p \wedge \neg p = \top \wedge \bot = \bot.
  • p \leftrightarrow (p \wedge \neg p) = \top \leftrightarrow \bot = \bot (são diferentes).
  • Finalmente \bigl(p \leftrightarrow (p \wedge \neg p)\bigr) \leftrightarrow \neg p = \bot \leftrightarrow \bot = \top.
Caso 2: suponha p=\bot.
  • \neg p = \neg\bot = \top.
  • p \wedge \neg p = \bot \wedge \top = \bot.
  • p \leftrightarrow (p \wedge \neg p) = \bot \leftrightarrow \bot = \top (são iguais).
  • Finalmente \bigl(p \leftrightarrow (p \wedge \neg p)\bigr) \leftrightarrow \neg p = \top \leftrightarrow \top = \top.
Concluímos: para p=\top a fórmula vale \top e para p=\bot também vale \top. Portanto a fórmula é verdadeira em todos os casos — é uma tautologia.

Passo 4

Segundo método (mais simbólico): usar equivalências lógicas para simplificar a fórmula, que é útil em provas quando a tabela-verdade é cansativa.
Observação útil: p \wedge \neg p é uma contradição — ela é sempre falsa para qualquer p. Usamos um símbolo para isso:
p \wedge \neg p \equiv \bot.
Explicação curta: a conjunção de uma proposição com sua negação nunca pode ser verdadeira.

Passo 5

Substituindo \bot na expressão original:
\bigl(p \leftrightarrow (p \wedge \neg p)\bigr) \leftrightarrow \neg p \equiv (p \leftrightarrow \bot) \leftrightarrow \neg p.
Agora mostramos que p \leftrightarrow \bot é logicamente equivalente a \neg p. Usando a equivalência da bicondicional:
p \leftrightarrow \bot \equiv (p \wedge \bot)\\ \vee\\ (\neg p \wedge \neg\bot).
Mas p \wedge \bot \equiv \bot e \neg\bot \equiv \top, então
(p \wedge \bot)\\ \vee\\ (\neg p \wedge \neg\bot) \equiv \bot \vee (\neg p \wedge \top) \equiv \neg p.
Logo p \leftrightarrow \bot \equiv \neg p.

Passo 6

Substituindo essa equivalência de volta:
(p \leftrightarrow \bot) \leftrightarrow \neg p \equiv \neg p \leftrightarrow \neg p.
E qualquer bicondicional entre uma fórmula e ela mesma é sempre verdadeira:
\neg p \leftrightarrow \neg p \equiv \top.
Assim a expressão toda simplifica para \top, ou seja, é tautologia.

Passo 7

Resumo e dica para a prova: você pode mostrar que a expressão é tautologia por tabela-verdade (dois casos, porque só há uma proposição p) ou por transformações lógicas rápidas:
  • notar que p\wedge\neg p é \bot,
  • então p\leftrightarrow(p\wedge\neg p) vira p\leftrightarrow\bot,
  • e isso é \neg p,
  • logo a fórmula vira \neg p\leftrightarrow\neg p, tautologia.
    Na prova, escolha o método que te der menos chance de erro — aqui ambos são curtinhos.

Resposta

A fórmula \bigl(p \leftrightarrow (p \wedge \neg p)\bigr) \leftrightarrow \neg p é uma tautologia.

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