Exercício 01: Mostre que as seguintes proposições são tautológicas:
(p \vee q) \wedge \neg p \rightarrow q

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a proposição (p \vee q) \wedge \neg p \rightarrow q é uma tautologia.
Informações dadas:
  • As variáveis proposicionais são \,p e \,q.
  • A fórmula a analisar é \,(p \vee q) \wedge \neg p \rightarrow q.
    Pedido: provar que essa fórmula é verdadeira para todas as possíveis valorações de \,p e \,q (ou seja, provar que é tautológica).

Passo 2

Vou explicar o método do quadro-verdade (truth table), que é a forma mais direta e segura para mostrar que uma fórmula proposicional é tautologia. Relembrando as definições básicas:
  • A disjunção \,A \vee B é verdadeira se pelo menos uma das proposições A ou B for verdadeira.
  • A negação \,\neg A é verdadeira exatamente quando A é falsa.
  • A conjunção \,A \wedge B é verdadeira só quando ambas A e B são verdadeiras.
  • A implicação \,A \rightarrow B é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa; em todos os outros casos é verdadeira.
No quadro-verdade eu vou listar todas as combinações possíveis de valores para \,p e \,q (são 2^2 = 4 combinações) e calcular passo a passo os valores de cada subfórmula até chegar ao valor da fórmula inteira \,(p \vee q) \wedge \neg p \rightarrow q.

Passo 3

Construção do quadro-verdade: as colunas que vamos preencher são: \,p, \,q, \,p \vee q, \,\neg p, \,(p \vee q) \wedge \neg p e \,((p \vee q) \wedge \neg p) \rightarrow q. Agora calculo linha a linha:
Linha 1: \,p = \text{V}, \,q = \text{V}.
  • \,p \vee q é \text{V} \vee \text{V} = \text{V}.
  • \,\neg p é \neg \text{V} = \text{F}.
  • \,(p \vee q) \wedge \neg p é \text{V} \wedge \text{F} = \text{F}.
  • A implicação \,(p \vee q) \wedge \neg p \rightarrow q é \text{F} \rightarrow \text{V} = \text{V} (porque antecedente falso implica verdadeiro).
Linha 2: \,p = \text{V}, \,q = \text{F}.
  • \,p \vee q = \text{V} \vee \text{F} = \text{V}.
  • \,\neg p = \neg \text{V} = \text{F}.
  • \,(p \vee q) \wedge \neg p = \text{V} \wedge \text{F} = \text{F}.
  • Implicação: \text{F} \rightarrow \text{F} = \text{V}.
Linha 3: \,p = \text{F}, \,q = \text{V}.
  • \,p \vee q = \text{F} \vee \text{V} = \text{V}.
  • \,\neg p = \neg \text{F} = \text{V}.
  • \,(p \vee q) \wedge \neg p = \text{V} \wedge \text{V} = \text{V}.
  • Implicação: \text{V} \rightarrow \text{V} = \text{V}.
Linha 4: \,p = \text{F}, \,q = \text{F}.
  • \,p \vee q = \text{F} \vee \text{F} = \text{F}.
  • \,\neg p = \neg \text{F} = \text{V}.
  • \,(p \vee q) \wedge \neg p = \text{F} \wedge \text{V} = \text{F}.
  • Implicação: \text{F} \rightarrow \text{F} = \text{V}.
Observação dos resultados: em todas as quatro linhas a coluna final \,((p \vee q) \wedge \neg p) \rightarrow q ficou com valor \text{V}. Portanto a fórmula é verdadeira para todas as valorações de \,p e \,q.

Passo 4

Vou dar uma prova alternativa usando equivalências lógicas (útil para fazer ``na prova’’ quando o quadro-verdade for cansativo). Lembrando algumas equivalências:
  • \,A \rightarrow B é logicamente equivalente a \,\neg A \vee B.
  • De Morgan: \,\neg (X \wedge Y) \equiv \neg X \vee \neg Y e \neg (X \vee Y) \equiv \neg X \wedge \neg Y.
  • Dupla negação: \,\neg\neg X \equiv X.
  • Distributiva e leis do complemento: \,X \vee \neg X \equiv \text{V}.
Aplicando essas equivalências à fórmula \,(p \vee q) \wedge \neg p \rightarrow q:
Primeiro reescrevo a implicação como disjunção:
(p \vee q) \wedge \neg p \rightarrow q
é equivalente a
\neg\big((p \vee q) \wedge \neg p\big) \vee q.
Usando De Morgan em \,\neg\big((p \vee q) \wedge \neg p\big):
\neg\big((p \vee q) \wedge \neg p\big) \equiv \neg(p \vee q) \vee \neg(\neg p).
Aplicando \,\neg(\neg p) \equiv p e \,\neg(p \vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q:
\neg\big((p \vee q) \wedge \neg p\big) \equiv (\neg p \wedge \neg q) \vee p.
Agora acrescento o \vee q que vinha da implicação:
\big((\neg p \wedge \neg q) \vee p\big) \vee q.
Agrupando e usando associatividade/comutatividade:
p \vee \big((\neg p \wedge \neg q) \vee q\big).
Simplifico o termo interno (\neg p \wedge \neg q) \vee q. Usando distributiva:
(\neg p \wedge \neg q) \vee q \equiv (\neg p \vee q) \wedge (\neg q \vee q).
Mas \,\neg q \vee q \equiv \text{V}, logo o produto com \text{V} deixa apenas \neg p \vee q. Portanto
(\neg p \wedge \neg q) \vee q \equiv \neg p \vee q.
Substituindo de volta:
p \vee (\neg p \vee q) \equiv (p \vee \neg p) \vee q \equiv \text{V} \vee q \equiv \text{V}.
Chegamos à constante \text{V} (verdade), o que mostra que a fórmula é logicamente equivalente a uma tautologia. Ou seja, a fórmula original é tautológica.

Passo 5

Conclusão clara: tanto pelo quadro-verdade (todos os valores verdadeiros) quanto pela simplificação por equivalências lógicas (redução a \text{V}), a fórmula (p \vee q) \wedge \neg p \rightarrow q é tautologia. Força aí — essa é uma daquelas proposições que caem bem na prova: se lembrar da equivalência A\rightarrow B \equiv \neg A \vee B já resolve rapidinho sem precisar montar toda a tabela.

Resposta

A proposição (p \vee q) \wedge \neg p \rightarrow q é tautológica.

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