Exercício 01: Mostre que as seguintes proposições são tautológicas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a proposição
é uma tautologia.
Informações dadas:
Informações dadas:
- As variáveis proposicionais são
e . - A fórmula a analisar é
.
Pedido: provar que essa fórmula é verdadeira para todas as possíveis valorações dee (ou seja, provar que é tautológica).
Passo 2
Vou explicar o método do quadro-verdade (truth table), que é a forma mais direta e segura para mostrar que uma fórmula proposicional é tautologia. Relembrando as definições básicas:
- A disjunção
é verdadeira se pelo menos uma das proposições ou for verdadeira. - A negação
é verdadeira exatamente quando é falsa. - A conjunção
é verdadeira só quando ambas e são verdadeiras. - A implicação
é falsa somente quando é verdadeira e é falsa; em todos os outros casos é verdadeira.
No quadro-verdade eu vou listar todas as combinações possíveis de valores para
e
(são
combinações) e calcular passo a passo os valores de cada subfórmula até chegar ao valor da fórmula inteira
.
Passo 3
Construção do quadro-verdade: as colunas que vamos preencher são:
,
,
,
,
e
. Agora calculo linha a linha:
Linha 1:
,
.
-
é . -
é . -
é . - A implicação
é (porque antecedente falso implica verdadeiro).
Linha 2:
,
.
-
. -
. -
. - Implicação:
.
Linha 3:
,
.
-
. -
. -
. - Implicação:
.
Linha 4:
,
.
-
. -
. -
. - Implicação:
.
Observação dos resultados: em todas as quatro linhas a coluna final
ficou com valor
. Portanto a fórmula é verdadeira para todas as valorações de
e
.
Passo 4
Vou dar uma prova alternativa usando equivalências lógicas (útil para fazer ``na prova’’ quando o quadro-verdade for cansativo). Lembrando algumas equivalências:
-
é logicamente equivalente a . - De Morgan:
e . - Dupla negação:
. - Distributiva e leis do complemento:
.
Aplicando essas equivalências à fórmula
:
Primeiro reescrevo a implicação como disjunção:
é equivalente a
Usando De Morgan em
:
Aplicando
e
:
Agora acrescento o
que vinha da implicação:
Agrupando e usando associatividade/comutatividade:
Simplifico o termo interno
. Usando distributiva:
Mas
, logo o produto com
deixa apenas
. Portanto
Substituindo de volta:
Chegamos à constante
(verdade), o que mostra que a fórmula é logicamente equivalente a uma tautologia. Ou seja, a fórmula original é tautológica.
Passo 5
Conclusão clara: tanto pelo quadro-verdade (todos os valores verdadeiros) quanto pela simplificação por equivalências lógicas (redução a
), a fórmula
é tautologia. Força aí — essa é uma daquelas proposições que caem bem na prova: se lembrar da equivalência
já resolve rapidinho sem precisar montar toda a tabela.
Resposta
A proposição
é tautológica.