Exercício 01: Mostre que as seguintes proposições são tautológicas:
(p \rightarrow q) \rightarrow(p \vee r \rightarrow q \vee r)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a proposição
(p \rightarrow q) \rightarrow (p \vee r \rightarrow q \vee r)
é uma tautologia.
As informações dadas são apenas a fórmula acima, com as variáveis proposicionais (p,q,r). O objetivo é provar que essa fórmula é verdadeira para todas as possíveis valorações de verdade de (p,q,r).

Passo 2

Antes de começar a prova, vamos lembrar o que significam os conectivos e o que é tautologia, de forma bem prática.
  • Uma variável proposicional, por exemplo \,p, pode valer apenas \text{V} (verdadeiro) ou \text{F} (falso).
  • A implicação \,A\rightarrow B vale \text{F} só quando A é \text{V} e B é \text{F}; em todos os outros casos vale \text{V}. Em palavras: se o antecedente é falso, a implicação é verdadeira; se o antecedente é verdadeiro, a implicação tem o valor do consequente.
  • A disjunção (ou) \,A\vee B vale \text{V} quando pelo menos um entre A e B é \text{V}; só é \text{F} quando ambos são \text{F}.
  • Uma fórmula é tautologia se, para toda atribuição de \text{V}/ \text{F} às suas variáveis, a fórmula resulta em \text{V}.
Essas regras são a base que vamos usar.

Passo 3

Prova intuitiva por análise de casos (muito útil na prova, porque é curta e clara):
Queremos mostrar que, sempre que (p\rightarrow q) for verdadeira, então (p\vee r \rightarrow q\vee r) também será verdadeira. Em outras palavras, assumimos que (p\rightarrow q) é \text{V} e mostramos que, sob essa hipótese, qualquer valor de p e r faz com que q\vee r seja verdade sempre que p\vee r for verdade.
Considere que (p\vee r) seja \text{V}. Então existem dois subcasos:
  • Caso 1: r é \text{V}.
    Então q\vee r é \text{V} (porque r é \text{V}). Assim (p\vee r \rightarrow q\vee r) é \text{V} (porque antecedente \text{V} e consequente \text{V} dá implicação \text{V}). Portanto, neste subcaso a implicação pedida é satisfeita.
  • Caso 2: r é \text{F}.
    Como p\vee r é \text{V} e r é \text{F}, segue que p é \text{V}. Temos também a hipótese de que p\rightarrow q é \text{V}. Pela regra básica da implicação (modus ponens): se p é \text{V} e p\rightarrow q é \text{V}, então q é \text{V}. Logo q\vee r é \text{V}. Assim (p\vee r \rightarrow q\vee r) é \text{V} também neste subcaso.
Como em ambos os subcasos, sempre que p\vee r for \text{V} o consequente q\vee r também é \text{V}, concluímos que sob a hipótese (p\rightarrow q) a implicação (p\vee r \rightarrow q\vee r) é verdadeira. Portanto a fórmula inteira
(p \rightarrow q) \rightarrow (p \vee r \rightarrow q \vee r)
é verdadeira para qualquer valoração — ou seja, é uma tautologia.

Passo 4

Para ficar completamente rigoroso (e para treinar o procedimento que o professor pode pedir), vou usar a tabela-verdade completa e mostrar que a fórmula dá \text{V} em todas as 8 valorações possíveis de (p,q,r).
Calculando linha a linha:
  1. (p,q,r)=(\text{V},\text{V},\text{V}):
    \,p\rightarrow q=\text{V}. \,p\vee r=\text{V}. \,q\vee r=\text{V}.
    (p\vee r)\rightarrow(q\vee r)=\text{V}.
    Logo (p\rightarrow q)\rightarrow((p\vee r)\rightarrow(q\vee r))=\text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  2. (p,q,r)=(\text{V},\text{V},\text{F}):
    \,p\rightarrow q=\text{V}. \,p\vee r=\text{V}. \,q\vee r=\text{V}.
    (p\vee r)\rightarrow(q\vee r)=\text{V}.
    Fórmula principal: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  3. (p,q,r)=(\text{V},\text{F},\text{V}):
    \,p\rightarrow q=\text{F}. \,p\vee r=\text{V}. \,q\vee r=\text{V}.
    (p\vee r)\rightarrow(q\vee r)=\text{V}.
    Fórmula principal: \text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  4. (p,q,r)=(\text{V},\text{F},\text{F}):
    \,p\rightarrow q=\text{F}. \,p\vee r=\text{V}. \,q\vee r=\text{F}.
    (p\vee r)\rightarrow(q\vee r)=\text{F}.
    Fórmula principal: \text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
  5. (p,q,r)=(\text{F},\text{V},\text{V}):
    \,p\rightarrow q=\text{T} (lembre: \text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}). \,p\vee r=\text{V}. \,q\vee r=\text{V}.
    (p\vee r)\rightarrow(q\vee r)=\text{V}.
    Fórmula principal: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  6. (p,q,r)=(\text{F},\text{V},\text{F}):
    \,p\rightarrow q=\text{V}. \,p\vee r=\text{F}. \,q\vee r=\text{V}.
    (p\vee r)\rightarrow(q\vee r)=\text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
    Fórmula principal: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  7. (p,q,r)=(\text{F},\text{F},\text{V}):
    \,p\rightarrow q=\text{V}. \,p\vee r=\text{V}. \,q\vee r=\text{V}.
    (p\vee r)\rightarrow(q\vee r)=\text{V}.
    Fórmula principal: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
  8. (p,q,r)=(\text{F},\text{F},\text{F}):
    \,p\rightarrow q=\text{V}. \,p\vee r=\text{F}. \,q\vee r=\text{F}.
    (p\vee r)\rightarrow(q\vee r)=\text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
    Fórmula principal: \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
Em todas as 8 linhas a fórmula principal resulta \text{V}. Portanto é tautologia.

Passo 5

Resumo final didático e motivador: a ideia que você deve guardar para a prova é a análise por casos que usamos no Passo 3 — é rápida e intuitiva: se r for verdadeiro, q\vee r fica verdadeiro na hora; se r for falso, então p\vee r força p verdadeiro e a hipótese p\rightarrow q q verdadeiro, logo de novo q\vee r verdadeiro. Isso mostra que sempre que p\rightarrow q for verdadeiro, a implicação (p\vee r)\rightarrow(q\vee r) também será verdadeira, para qualquer p,q,r. Use esse raciocínio em prova e complemente com tabela-verdade se quiser rigor máximo.

Resposta

(p \rightarrow q) \rightarrow (p \vee r \rightarrow q \vee r) é tautologia.

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