Exercício 01: Mostre que as seguintes proposições são tautológicas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a proposição
é uma tautologia.
As informações dadas são apenas a fórmula acima, com as variáveis proposicionais . O objetivo é provar que essa fórmula é verdadeira para todas as possíveis valorações de verdade de
.
As informações dadas são apenas a fórmula acima, com as variáveis proposicionais
Passo 2
Antes de começar a prova, vamos lembrar o que significam os conectivos e o que é tautologia, de forma bem prática.
- Uma variável proposicional, por exemplo
, pode valer apenas (verdadeiro) ou (falso). - A implicação
vale só quando é e é ; em todos os outros casos vale . Em palavras: se o antecedente é falso, a implicação é verdadeira; se o antecedente é verdadeiro, a implicação tem o valor do consequente. - A disjunção (ou)
vale quando pelo menos um entre e é ; só é quando ambos são . - Uma fórmula é tautologia se, para toda atribuição de
/ às suas variáveis, a fórmula resulta em .
Essas regras são a base que vamos usar.
Passo 3
Prova intuitiva por análise de casos (muito útil na prova, porque é curta e clara):
Queremos mostrar que, sempre que
for verdadeira, então
também será verdadeira. Em outras palavras, assumimos que
é
e mostramos que, sob essa hipótese, qualquer valor de
e
faz com que
seja verdade sempre que
for verdade.
Considere que
seja
. Então existem dois subcasos:
-
Caso 1:
é .
Entãoé (porque é ). Assim é (porque antecedente e consequente dá implicação ). Portanto, neste subcaso a implicação pedida é satisfeita. -
Caso 2:
é .
Comoé e é , segue que é . Temos também a hipótese de que é . Pela regra básica da implicação (modus ponens): se é e é , então é . Logo é . Assim é também neste subcaso.
Como em ambos os subcasos, sempre que
for
o consequente
também é
, concluímos que sob a hipótese
a implicação
é verdadeira. Portanto a fórmula inteira
é verdadeira para qualquer valoração — ou seja, é uma tautologia.
Passo 4
Para ficar completamente rigoroso (e para treinar o procedimento que o professor pode pedir), vou usar a tabela-verdade completa e mostrar que a fórmula dá
em todas as 8 valorações possíveis de
.
Calculando linha a linha:
-
:
. . .
.
Logo. -
:
. . .
.
Fórmula principal:. -
:
. . .
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Fórmula principal:. -
:
. . .
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Fórmula principal:. -
:
(lembre: ). . .
.
Fórmula principal:. -
:
. . .
.
Fórmula principal:. -
:
. . .
.
Fórmula principal:. -
:
. . .
.
Fórmula principal:.
Em todas as 8 linhas a fórmula principal resulta
. Portanto é tautologia.
Passo 5
Resumo final didático e motivador: a ideia que você deve guardar para a prova é a análise por casos que usamos no Passo 3 — é rápida e intuitiva: se
for verdadeiro,
fica verdadeiro na hora; se
for falso, então
força
verdadeiro e a hipótese
dá
verdadeiro, logo de novo
verdadeiro. Isso mostra que sempre que
for verdadeiro, a implicação
também será verdadeira, para qualquer
. Use esse raciocínio em prova e complemente com tabela-verdade se quiser rigor máximo.