Exercício 02: Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:
(p \rightarrow(p \rightarrow q)) \rightarrow q

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pede-se mostrar que a proposição seguinte é contingente (ou seja: que ela vale verdadeiro para algumas valorações das variáveis proposicionais e falso para outras).
  • A proposição é
\bigl(p \rightarrow (p \rightarrow q)\bigr) \rightarrow q.
  • Informações relevantes: as únicas proposições atômicas são p e q. Não há outras restrições.

Passo 2

Lembrando (aula rápida sobre implicação e equivalências) — como vou usar isso.
  • Definição de implicação: a fórmula A \rightarrow B é logicamente equivalente a \lnot A \lor B. Vou usar essa equivalência várias vezes para transformar a fórmula.
  • Leis lógicas que usarei (explicadas de forma simples):
    • De Morgan: \lnot(A\lor B) é equivalente a \lnot A \land \lnot B.
    • Dupla negação e idempotência: A\lor A é equivalente a A.
    • Distributividade quando for necessária.
  • Objetivo nesta etapa: reescrever a proposição de um jeito mais simples, usando as equivalências acima, para reconhecer sua forma e testar valorações com facilidade.

Passo 3

Simplificação algébrica da fórmula usando equivalências.
Vou reescrever primeiro a parte interna p \rightarrow (p \rightarrow q) usando A\rightarrow B \equiv \lnot A \lor B.
p \rightarrow (p \rightarrow q)
é equivalente a
\lnot p \lor (p \rightarrow q).
Agora uso novamente p \rightarrow q \equiv \lnot p \lor q, então
\lnot p \lor (p \rightarrow q) \equiv \lnot p \lor (\lnot p \lor q).
Pela associatividade e idempotência do \lor,
\lnot p \lor (\lnot p \lor q) \equiv (\lnot p \lor \lnot p) \lor q \equiv \lnot p \lor q.
Portanto chegamos à equivalência
p \rightarrow (p \rightarrow q) \equiv \lnot p \lor q.

Passo 4

Substituo a simplificação na fórmula original e simplifico o restante.
A fórmula original é
\bigl(p \rightarrow (p \rightarrow q)\bigr) \rightarrow q.
Pelo passo anterior isso é equivalente a
(\lnot p \lor q) \rightarrow q.
Agora uso a equivalência da implicação mais uma vez: A\rightarrow q \equiv \lnot A \lor q. Assim
(\lnot p \lor q) \rightarrow q \equiv \lnot(\lnot p \lor q) \lor q.
Aplicando De Morgan em \lnot(\lnot p \lor q):
\lnot(\lnot p \lor q) \equiv p \land \lnot q.
Então
\lnot(\lnot p \lor q) \lor q \equiv (p \land \lnot q) \lor q.
Agora uso a distributividade ou a identidade lógica conhecida (A\land\lnot B)\lor B \equiv A\lor B. Aplicando-a:
(p \land \lnot q) \lor q \equiv p \lor q.
Portanto temos a equivalência final
\bigl(p \rightarrow (p \rightarrow q)\bigr) \rightarrow q \equiv p \lor q.

Passo 5

Interpretação: por que isso prova que a proposição é contingente.
  • A fórmula p \lor q é uma disjunção simples que depende dos valores de p e q. Não é verdadeira para todas as valorações (por exemplo, é falsa quando p=\text{F} e q=\text{F}) e não é falsa para todas (por exemplo, é verdadeira quando p=\text{V} e q=\text{F}).
  • Como a proposição original é logicamente equivalente a p \lor q, ela terá exatamente o mesmo comportamento de verdade: haverá valorações que a tornam verdadeira e valorações que a tornam falsa.
  • Para ficar bem concreto, eis duas valorações (mostrando passo a passo a avaliação direta, para ver como acontece no “tempo de prova”):
    • Se p=\text{F} e q=\text{F}: então p \rightarrow (p \rightarrow q) vale \text{V} (porque antecedente p é falso), e a fórmula inteira é \text{V} \rightarrow \text{F} = \text{F}. Logo a fórmula pode valer falso.
    • Se p=\text{T} e q=\text{F}: então p\rightarrow q vale \text{F}, daí p\rightarrow(p\rightarrow q) vale \text{F}, e a fórmula inteira é \text{F}\rightarrow\text{F}=\text{T}. Logo a fórmula também pode valer verdadeiro.

Passo 6

Conclusão final (explicação curta para lembrar na prova).
  • Mostrei que a fórmula é equivalente a p\lor q.
  • Dei exemplos de valorações que a tornam verdadeira e outras que a tornam falsa.
  • Portanto a fórmula é contingente (nem tautologia, nem contradição).

Resposta

A proposição é contingente.

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