Exercício 02: Mostrar que as seguintes proposições são contingentes:
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- Pede-se mostrar que a proposição seguinte é contingente (ou seja: que ela vale verdadeiro para algumas valorações das variáveis proposicionais e falso para outras).
- A proposição é
- Informações relevantes: as únicas proposições atômicas são
e . Não há outras restrições.
Passo 2
Lembrando (aula rápida sobre implicação e equivalências) — como vou usar isso.
- Definição de implicação: a fórmula
é logicamente equivalente a . Vou usar essa equivalência várias vezes para transformar a fórmula. - Leis lógicas que usarei (explicadas de forma simples):
- De Morgan:
é equivalente a . - Dupla negação e idempotência:
é equivalente a . - Distributividade quando for necessária.
- De Morgan:
- Objetivo nesta etapa: reescrever a proposição de um jeito mais simples, usando as equivalências acima, para reconhecer sua forma e testar valorações com facilidade.
Passo 3
Simplificação algébrica da fórmula usando equivalências.
Vou reescrever primeiro a parte interna
usando
.
é equivalente a
Agora uso novamente
, então
Pela associatividade e idempotência do
,
Portanto chegamos à equivalência
Passo 4
Substituo a simplificação na fórmula original e simplifico o restante.
A fórmula original é
Pelo passo anterior isso é equivalente a
Agora uso a equivalência da implicação mais uma vez:
. Assim
Aplicando De Morgan em
:
Então
Agora uso a distributividade ou a identidade lógica conhecida
. Aplicando-a:
Portanto temos a equivalência final
Passo 5
Interpretação: por que isso prova que a proposição é contingente.
- A fórmula
é uma disjunção simples que depende dos valores de e . Não é verdadeira para todas as valorações (por exemplo, é falsa quando e ) e não é falsa para todas (por exemplo, é verdadeira quando e ). - Como a proposição original é logicamente equivalente a
, ela terá exatamente o mesmo comportamento de verdade: haverá valorações que a tornam verdadeira e valorações que a tornam falsa. - Para ficar bem concreto, eis duas valorações (mostrando passo a passo a avaliação direta, para ver como acontece no “tempo de prova”):
- Se
e : então vale (porque antecedente é falso), e a fórmula inteira é . Logo a fórmula pode valer falso. - Se
e : então vale , daí vale , e a fórmula inteira é . Logo a fórmula também pode valer verdadeiro.
- Se
Passo 6
Conclusão final (explicação curta para lembrar na prova).
- Mostrei que a fórmula é equivalente a
. - Dei exemplos de valorações que a tornam verdadeira e outras que a tornam falsa.
- Portanto a fórmula é contingente (nem tautologia, nem contradição).
Resposta
A proposição é contingente.