Exercício 01: Resolver as seguintes equações trigonométricas:
\tan 4 x+\tan \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\tan(4x) + \tan\bigl(2x - \tfrac{\pi}{4}\bigr) = 0.
O conteúdo é equações trigonométricas envolvendo tangente, e vamos usar a identidade
\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A\,\cos B}.

Passo 2

Tomando A = 4x e B = 2x - \tfrac{\pi}{4}, a soma das tangentes é
\tan(4x) + \tan\bigl(2x - \tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sin\!\bigl(4x + 2x - \tfrac{\pi}{4}\bigr)}{\cos(4x)\,\cos\!\bigl(2x - \tfrac{\pi}{4}\bigr)}.
Portanto a equação original vira
\frac{\sin\bigl(6x - \tfrac{\pi}{4}\bigr)}{\cos(4x)\,\cos\bigl(2x - \tfrac{\pi}{4}\bigr)} = 0.

Passo 3

Para a fração ser zero, basta o numerador anular-se (e o denominador ser não nulo). Assim
\sin\bigl(6x - \tfrac{\pi}{4}\bigr) = 0
implica
6x - \tfrac{\pi}{4} = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
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x = \tfrac{\pi}{24} + \tfrac{k\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Verificamos o domínio: exigimos \cos(4x)\neq0 e \cos(2x-\tfrac{\pi}{4})\neq0, ou seja
4x \neq \tfrac{\pi}{2} + m\pi \quad\Longrightarrow\quad x \neq \tfrac{\pi}{8} + \tfrac{m\pi}{4},
2x - \tfrac{\pi}{4} \neq \tfrac{\pi}{2} + m\pi \quad\Longrightarrow\quad x \neq \tfrac{3\pi}{8} + \tfrac{m\pi}{2}.
Nenhuma dessas formas coincide com x = \tfrac{\pi}{24} + \tfrac{k\pi}{6}, então todas as soluções achadas são válidas.

Resposta

x = \tfrac{\pi}{24} + \tfrac{k\pi}{6},\quad k\in\mathbb{Z}.

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