Exercício 01: Resolver as seguintes equações trigonométricas:
\tan x=\sin 2 x \quad

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a equação
\tan x = \sin 2x.
O conteúdo envolve identidades trigonométricas e resolução de equações fatoradas.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin 2x = 2\sin x\cos x,
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\tan x = \sin 2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin x}{\cos x} = 2\sin x\cos x.
Multiplicando ambos os lados por \cos x, obtemos
\sin x = 2\sin x\cos^2 x \quad\Longrightarrow\quad \sin x\bigl(1 - 2\cos^2 x\bigr) = 0.

Passo 3

Da fatoração temos duas possibilidades:
  1. \sin x = 0
x = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
  1. 1 - 2\cos^2 x = 0
\cos^2 x = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \cos x = \pm\tfrac1{\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Verificamos que em todas essas soluções \cos x\neq0, portanto \tan x está bem definido.

Resposta

x = k\pi e x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}, com k\in\mathbb{Z}.

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