Exercício 02: Resolver as seguintes inequações trigonométricas:
\sin ^{2} x-\frac{1}{2} \geq 0,0 \leq x \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica
\sin^{2}x - \tfrac{1}{2} \ge 0
no intervalo \,0\le x\le \pi.
O conteúdo envolvido é inequações envolvendo funções trigonométricas e vamos usar a identidade básica \sin^{2}x e a relação com o valor crítico \tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 2

Isolamos \sin^{2}x:
\sin^{2}x \ge \tfrac{1}{2}.
Para tirar a raiz, lembramos que isso equivale a
|\sin x|\ge \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Como x está em [0,\pi], temos \sin x\ge0. Logo a condição |\sin x|\ge \tfrac{\sqrt{2}}{2} vira
\sin x \ge \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Na reta real a solução geral de \sin x = \tfrac{\sqrt{2}}{2} é
x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi,
e \sin x\ge\tfrac{\sqrt2}{2} ocorre entre esses dois valores em cada período.

Passo 4

Agora restringimos ao intervalo [0,\pi]. A única parte desse arco onde \sin x\ge\tfrac{\sqrt2}{2} é
\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{3\pi}{4}.

Resposta

\boxed{\;x\in\bigl[\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{3\pi}{4}\bigr]\;}

Exercícios relacionados