Exercício 02: Resolver as seguintes inequações trigonométricas:
\sin \frac{x}{2} \geq \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação \sin\frac{x}{2}\ge \frac{1}{2} no intervalo 0\le x\le 2\pi. O conteúdo é resolução de inequações trigonométricas, usando o comportamento da função seno em intervalos principais.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t=\frac{x}{2}.
Assim, 0\le x\le 2\pi vira 0\le t\le \pi e a inequação fica
\sin t\ge \frac{1}{2}.

Passo 3

No intervalo 0\le t\le \pi, a equação \sin t=\frac12 tem soluções
t=\frac{\pi}{6}\quad\text{e}\quad t=\frac{5\pi}{6}.
Como \sin t cresce de 0 a \frac{\pi}{2} e decresce de \frac{\pi}{2} a \pi, concluímos
\sin t\ge\frac12\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\pi}{6}\le t\le \frac{5\pi}{6}.

Passo 4

Voltando à variável x pela relação x=2t, obtemos
\frac{\pi}{3}\le x\le \frac{5\pi}{3}.
Esse intervalo está inteiramente dentro de 0\le x\le 2\pi, logo é a solução final.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}\le x\le \frac{5\pi}{3}

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