e X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt]x_2(t)\end{pmatrix} é o vetor incógnita.
O objetivo é encontrar a solução geral X(t) (com constantes reais) para todo t.]
Passo 2
Resumo do método (sem pular passos):
Para sistemas lineares constantes da forma \dot{X}=A X, procuramos soluções do tipo X(t)=e^{\lambda t}v, onde \lambda é um escalar (autovalor) e v é um vetor não nulo (autovetor) que satisfaz
(A-\lambda I)v=0.
Os autovalores \lambda são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Se os autovalores são complexos conjugados \alpha\pm i\beta com autovetor complexo v, então as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)t}v produzem duas soluções reais independentes; a solução geral real é combinação linear dessas partes.
Vou aplicar exatamente isso, passo a passo.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Portanto o polinômio característico é \lambda^2+1, e as raízes são
\lambda^2+1=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm i.
Conclusão: os autovalores são os complexos conjugados \lambda_1=i e \lambda_2=-i. Isso indica soluções oscilatórias; seguirei com \lambda=i e extrairei as partes real e imaginária.]
Passo 4
Encontrar um autovetor associado a \lambda=i. Resolvo (A-iI)v=0.