Exercício 03: Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
\dot{X}=\left[\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right] X.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo
\dot{X}=A X
onde A é a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix},
e X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt]x_2(t)\end{pmatrix} é o vetor incógnita.
O objetivo é encontrar a solução geral X(t) (com constantes reais) para todo t.]

Passo 2

Resumo do método (sem pular passos):
  • Para sistemas lineares constantes da forma \dot{X}=A X, procuramos soluções do tipo X(t)=e^{\lambda t}v, onde \lambda é um escalar (autovalor) e v é um vetor não nulo (autovetor) que satisfaz
(A-\lambda I)v=0.
  • Os autovalores \lambda são raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
  • Se os autovalores são complexos conjugados \alpha\pm i\beta com autovetor complexo v, então as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)t}v produzem duas soluções reais independentes; a solução geral real é combinação linear dessas partes.
Vou aplicar exatamente isso, passo a passo.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & -5\\[4pt]1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-5)\cdot 1.
Faço a multiplicação com cuidado:
(2-\lambda)(-2-\lambda) = -4 + \lambda^2
porque os termos em \lambda se cancelam. Então
\det(A-\lambda I) = -4+\lambda^2 +5 = \lambda^2+1.
Portanto o polinômio característico é \lambda^2+1, e as raízes são
\lambda^2+1=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm i.
Conclusão: os autovalores são os complexos conjugados \lambda_1=i e \lambda_2=-i. Isso indica soluções oscilatórias; seguirei com \lambda=i e extrairei as partes real e imaginária.]

Passo 4

Encontrar um autovetor associado a \lambda=i. Resolvo (A-iI)v=0.
Escrevo a matriz (A-iI):
A-iI=\begin{pmatrix}2-i & -5\\[4pt]1 & -2-i\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}, o sistema é
(2-i)v_1 -5 v_2 =0,
v_1 +(-2-i)v_2 =0.
Da primeira equação obtenho
v_1=\frac{5}{2-i}\,v_2.
Racionalizo \dfrac{5}{2-i} multiplicando por 2+i no numerador e denominador:
\frac{5}{2-i}=\frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{5(2+i)}{4+1}=\frac{5(2+i)}{5}=2+i.
Logo v_1=(2+i)v_2. Escolho v_2=1 (qualquer múltiplo não nulo funciona), então um autovetor correspondente é
v=\begin{pmatrix}2+i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Posso conferir (opcional) que a segunda equação é consistente:
v_1+(-2-i)v_2=(2+i)+(-2-i)\cdot 1=0,
ok.]

Passo 5

Construir a solução complexa e extrair as partes real e imaginária.
Uma solução complexa é
X_c(t)=e^{i t}v = e^{i t}\begin{pmatrix}2+i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Escrevo e^{i t}=\cos t + i\sin t e multiplico componente a componente.
Para a primeira componente:
e^{i t}(2+i)=(\cos t + i\sin t)(2+i).
Faço a multiplicação explicitamente:
(\cos t + i\sin t)(2+i)=2\cos t - \sin t + i(2\sin t + \cos t).
Ou seja,
\Re\big(e^{i t}(2+i)\big)=2\cos t - \sin t,
\Im\big(e^{i t}(2+i)\big)=2\sin t + \cos t.
Para a segunda componente:
e^{i t}\cdot 1=\cos t + i\sin t,
logo
\Re(e^{i t})=\cos t,\qquad \Im(e^{i t})=\sin t.
Assim as partes real e imaginária de X_c(t) são os vetores reais independentes
\Phi_1(t)=\Re(X_c(t))=\begin{pmatrix}2\cos t - \sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix}, \qquad \Phi_2(t)=\Im(X_c(t))=\begin{pmatrix}2\sin t + \cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrever a solução geral real como combinação linear das duas soluções reais encontradas.
Como \Phi_1 e \Phi_2 são soluções reais independentes, a solução geral real do sistema é
X(t)=C_1\Phi_1(t)+C_2\Phi_2(t),
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias. Escrevendo componente a componente:
x_1(t)=C_1\big(2\cos t - \sin t\big) + C_2\big(2\sin t + \cos t\big),
x_2(t)=C_1\cos t + C_2\sin t.
(Se for fornecida uma condição inicial X(0), basta avaliar X(0) para resolver para C_1 e C_2.)

Resposta

X(t)=C_1\begin{pmatrix}2\cos t - \sin t\\[6pt]\cos t\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}2\sin t + \cos t\\[6pt]\sin t\end{pmatrix}, \qquad C_1,C_2\in\mathbb{R}.]

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