Exercício 03: Determine quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas ou contingentes:
p \wedge q \rightarrow(p \leftrightarrow q \vee r)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a proposição abaixo como tautológica, contraválida ou contingente:
(p \wedge q) \rightarrow \bigl(p \leftrightarrow (q \vee r)\bigr).
Informações dadas:
  • A fórmula lógica é (p \wedge q) \rightarrow (p \leftrightarrow (q \vee r)).
  • É preciso verificar sua verdade para todas as combinações de valores de \,p\,,\,q\,,\,r.

Passo 2

Explicação das conectivas e regras de verdade (aula rápida e prática):
  • \wedge (E): \,A \wedge B é verdadeira somente se A e B forem verdadeiros. Caso contrário é falsa.
  • \vee (OU inclusivo): \,A \vee B é verdadeira se pelo menos um de A ou B for verdadeiro; é falsa só quando ambos são falsos.
  • \rightarrow (implicação): \,A \rightarrow B é falsa só quando A é verdadeiro e B é falso; em todos os outros casos é verdadeira. Em particular, quando A é falso, \,A \rightarrow B é verdadeira (isso costuma surpreender no início).
  • \leftrightarrow (bicondicional/equivalência): \,A \leftrightarrow B é verdadeira quando A e B têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos); é falsa quando têm valores diferentes.

Passo 3

Escolha do método: como há apenas três variáveis ( p,q,r), a maneira mais direta e segura é construir a tabela-verdade completa com 2^3=8 linhas. Vou calcular colunas intermediárias úteis: q \vee r, p \leftrightarrow (q \vee r) e p \wedge q, e por fim a implicação total (p \wedge q) \rightarrow (p \leftrightarrow (q \vee r)).

Passo 4

Montando a tabela linha a linha. Vou usar a ordem usual de combinações: (p,q,r)=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0). Cada número 1 significa verdadeiro e 0 significa falso.
Calculo de q \vee r em cada linha:
  • Para (p,q,r)=(1,1,1): \,q \vee r = 1 \vee 1 = 1.
  • Para (1,1,0): \,q \vee r = 1 \vee 0 = 1.
  • Para (1,0,1): \,q \vee r = 0 \vee 1 = 1.
  • Para (1,0,0): \,q \vee r = 0 \vee 0 = 0.
  • Para (0,1,1): \,q \vee r = 1 \vee 1 = 1.
  • Para (0,1,0): \,q \vee r = 1 \vee 0 = 1.
  • Para (0,0,1): \,q \vee r = 0 \vee 1 = 1.
  • Para (0,0,0): \,q \vee r = 0 \vee 0 = 0.

Passo 5

Calculo de p \leftrightarrow (q \vee r) usando os valores de p e de q \vee r:
  • (1,1,1): p = 1, q \vee r = 1 1 \leftrightarrow 1 = 1.
  • (1,1,0): 1 \leftrightarrow 1 = 1.
  • (1,0,1): 1 \leftrightarrow 1 = 1.
  • (1,0,0): 1 \leftrightarrow 0 = 0.
  • (0,1,1): 0 \leftrightarrow 1 = 0.
  • (0,1,0): 0 \leftrightarrow 1 = 0.
  • (0,0,1): 0 \leftrightarrow 1 = 0.
  • (0,0,0): 0 \leftrightarrow 0 = 1.
Observação didática: o bicondicional é verdadeiro exatamente quando os dois lados têm mesmo valor, por isso comparações diretas como acima.

Passo 6

Calculo de p \wedge q em cada linha:
  • (1,1,1): 1 \wedge 1 = 1.
  • (1,1,0): 1 \wedge 1 = 1.
  • (1,0,1): 1 \wedge 0 = 0.
  • (1,0,0): 1 \wedge 0 = 0.
  • (0,1,1): 0 \wedge 1 = 0.
  • (0,1,0): 0 \wedge 1 = 0.
  • (0,0,1): 0 \wedge 0 = 0.
  • (0,0,0): 0 \wedge 0 = 0.
Lembrete prático: \wedge exige os dois verdadeiros para dar 1.

Passo 7

Calculo final da implicação (p \wedge q) \rightarrow (p \leftrightarrow (q \vee r)) usando as colunas obtidas:
  • (1,1,1): antecedente =1, consequente =1 1 \rightarrow 1 = 1.
  • (1,1,0): 1 \rightarrow 1 = 1.
  • (1,0,1): antecedente =0, consequente =1 0 \rightarrow 1 = 1.
  • (1,0,0): antecedente =0, consequente =0 0 \rightarrow 0 = 1.
  • (0,1,1): antecedente =0, consequente =0 0 \rightarrow 0 = 1.
  • (0,1,0): 0 \rightarrow 0 = 1.
  • (0,0,1): 0 \rightarrow 0 = 1.
  • (0,0,0): antecedente =0, consequente =1 0 \rightarrow 1 = 1.
Resultado: em todas as 8 linhas a implicação final é 1 (verdadeira).

Passo 8

Interpretação final e conclusão pedagógica:
  • Uma fórmula que vale verdadeira em todas as possíveis atribuições de valores às suas variáveis é chamada de tautológica.
  • Como a proposição dada resulta em verdadeiro para todas as 8 combinações de \,p,q,r, ela é uma tautologia.
  • Observação intuitiva rápida: sempre que p \wedge q for falso a implicação é verdadeira automaticamente; quando p \wedge q é verdadeiro (isto é, p=1 e q=1), então necessariamente q \vee r = 1, e assim p \leftrightarrow (q \vee r) fica equivalente a 1 \leftrightarrow 1, também verdadeiro — por isso não aparece nenhum contraexemplo.

Resposta

Tautológica.

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