Exercício 03: Determine quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas ou contingentes:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a proposição abaixo como tautológica, contraválida ou contingente:
Informações dadas:
- A fórmula lógica é
. - É preciso verificar sua verdade para todas as combinações de valores de
.
Passo 2
Explicação das conectivas e regras de verdade (aula rápida e prática):
-
(E): é verdadeira somente se e forem verdadeiros. Caso contrário é falsa. -
(OU inclusivo): é verdadeira se pelo menos um de ou for verdadeiro; é falsa só quando ambos são falsos. -
(implicação): é falsa só quando é verdadeiro e é falso; em todos os outros casos é verdadeira. Em particular, quando é falso, é verdadeira (isso costuma surpreender no início). -
(bicondicional/equivalência): é verdadeira quando e têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos); é falsa quando têm valores diferentes.
Passo 3
Escolha do método: como há apenas três variáveis (
), a maneira mais direta e segura é construir a tabela-verdade completa com
linhas. Vou calcular colunas intermediárias úteis:
,
e
, e por fim a implicação total
.
Passo 4
Montando a tabela linha a linha. Vou usar a ordem usual de combinações:
. Cada número
significa verdadeiro e
significa falso.
Calculo de
em cada linha:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 5
Calculo de
usando os valores de
e de
:
-
: , → . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Observação didática: o bicondicional é verdadeiro exatamente quando os dois lados têm mesmo valor, por isso comparações diretas como acima.
Passo 6
Calculo de
em cada linha:
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Lembrete prático:
exige os dois verdadeiros para dar
.
Passo 7
Calculo final da implicação
usando as colunas obtidas:
-
: antecedente , consequente → . -
: . -
: antecedente , consequente → . -
: antecedente , consequente → . -
: antecedente , consequente → . -
: . -
: . -
: antecedente , consequente → .
Resultado: em todas as 8 linhas a implicação final é
(verdadeira).
Passo 8
Interpretação final e conclusão pedagógica:
- Uma fórmula que vale verdadeira em todas as possíveis atribuições de valores às suas variáveis é chamada de tautológica.
- Como a proposição dada resulta em verdadeiro para todas as 8 combinações de
, ela é uma tautologia. - Observação intuitiva rápida: sempre que
for falso a implicação é verdadeira automaticamente; quando é verdadeiro (isto é, e ), então necessariamente , e assim fica equivalente a , também verdadeiro — por isso não aparece nenhum contraexemplo.
Resposta
Tautológica.