Exercício 03: Determine quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas ou contingentes:
p \rightarrow(\neg p \rightarrow q)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a fórmula
p \rightarrow(\neg p \rightarrow q)
como sendo tautológica, contraválida (contradição) ou contingente. As informações dadas são:
  • Há duas proposições atômicas: p e q.
  • Deve-se determinar se a fórmula é verdadeira para todas as avaliações de p e q (tautologia), falsa para todas (contraválida) ou verdadeira para algumas e falsa para outras (contingente).

Passo 2

Vamos recordar as definições importantes (curtas e diretas):
  • Uma fórmula é tautológica se for verdadeira em todas as avaliações possíveis das proposições atômicas.
  • Uma fórmula é contraválida (contradição) se for falsa em todas as avaliações possíveis.
  • Uma fórmula é contingente se for verdadeira em algumas avaliações e falsa em outras.
Também precisamos da tabela-verdade do conectivo implicação e de algumas equivalências úteis:
  • A implicação A \rightarrow B vale \top (verdadeiro) exceto quando A=\top e B=\bot; em símbolos:
    • \top \rightarrow \top = \top
    • \top \rightarrow \bot = \bot
    • \bot \rightarrow \top = \top
    • \bot \rightarrow \bot = \top
  • Equivalência útil: A \rightarrow B é logicamente equivalente a \neg A \lor B.
  • Dupla negação: \neg\neg A é equivalente a A.
  • A lei do terceiro excluído (ou tautologia básica): A \lor \neg A é sempre \top.

Passo 3

Método direto 1 — montando a tabela-verdade completa. Listamos todas as quatro avaliações possíveis de (p,q) e calculamos passo a passo os subfórmulas \neg p, \neg p \rightarrow q e a fórmula inteira p \rightarrow(\neg p \rightarrow q).

Passo 4

Avaliação 1: \;p=\top,\; q=\top.
\neg p = \bot.
\neg p \rightarrow q = \bot \rightarrow \top = \top.
p \rightarrow(\neg p \rightarrow q) = \top \rightarrow \top = \top.

Passo 5

Avaliação 2: \;p=\top,\; q=\bot.
\neg p = \bot.
\neg p \rightarrow q = \bot \rightarrow \bot = \top.
p \rightarrow(\neg p \rightarrow q) = \top \rightarrow \top = \top.

Passo 6

Avaliação 3: \;p=\bot,\; q=\top.
\neg p = \top.
\neg p \rightarrow q = \top \rightarrow \top = \top.
p \rightarrow(\neg p \rightarrow q) = \bot \rightarrow \top = \top.

Passo 7

Avaliação 4: \;p=\bot,\; q=\bot.
\neg p = \top.
\neg p \rightarrow q = \top \rightarrow \bot = \bot.
p \rightarrow(\neg p \rightarrow q) = \bot \rightarrow \bot = \top.

Passo 8

Conclusão da tabela-verdade: nas quatro avaliações possíveis a fórmula p \rightarrow(\neg p \rightarrow q) tomou o valor \top. Portanto, pela definição, é uma tautologia. Mas vou também mostrar uma prova algébrica curta, útil para a prova (economiza tempo).

Passo 9

Método direto 2 — prova por equivalências algébricas (mais rápida em prova):
Começamos usando a equivalência A\rightarrow B \equiv \neg A \lor B.
p \rightarrow(\neg p \rightarrow q) \equiv \neg p \lor (\neg p \rightarrow q).
Agora aplicamos a equivalência de novo na subfórmula \neg p \rightarrow q:
\neg p \lor (\neg p \rightarrow q) \equiv \neg p \lor (\neg\neg p \lor q).
Usando dupla negação \neg\neg p \equiv p e associatividade/comutatividade de \lor,
\neg p \lor (p \lor q) \equiv (\neg p \lor p) \lor q.
Mas \neg p \lor p é a lei do terceiro excluído, que é sempre \top. Logo
(\neg p \lor p) \lor q \equiv \top \lor q \equiv \top.
Assim a fórmula é equivalente à proposição sempre verdadeira \top, ou seja, é tautológica.

Passo 10

Interpretação intuitiva curta (para lembrar na prova): a implicação interior \neg p \rightarrow q só pode ser falsa quando \neg p=\top e q=\bot, ou seja, quando p=\bot e q=\bot. Nesse caso a parte interior é falsa, mas então o antecedente externo p é \bot, e \bot \rightarrow \bot vale \top. Em todas as outras situações alguma das implicações dá \top. Por isso, sempre dá \top.

Resposta

Tautológica

Exercícios relacionados