Exercício 03: Determine quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas ou contingentes:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a fórmula
como sendo tautológica, contraválida (contradição) ou contingente. As informações dadas são:
- Há duas proposições atômicas:
e . - Deve-se determinar se a fórmula é verdadeira para todas as avaliações de
e (tautologia), falsa para todas (contraválida) ou verdadeira para algumas e falsa para outras (contingente).
Passo 2
Vamos recordar as definições importantes (curtas e diretas):
- Uma fórmula é tautológica se for verdadeira em todas as avaliações possíveis das proposições atômicas.
- Uma fórmula é contraválida (contradição) se for falsa em todas as avaliações possíveis.
- Uma fórmula é contingente se for verdadeira em algumas avaliações e falsa em outras.
Também precisamos da tabela-verdade do conectivo implicação e de algumas equivalências úteis:
- A implicação
vale (verdadeiro) exceto quando e ; em símbolos: -
- Equivalência útil:
é logicamente equivalente a . - Dupla negação:
é equivalente a . - A lei do terceiro excluído (ou tautologia básica):
é sempre .
Passo 3
Método direto 1 — montando a tabela-verdade completa. Listamos todas as quatro avaliações possíveis de
e calculamos passo a passo os subfórmulas
,
e a fórmula inteira
.
Passo 4
Avaliação 1:
Passo 5
Avaliação 2:
Passo 6
Avaliação 3:
Passo 7
Avaliação 4:
Passo 8
Conclusão da tabela-verdade: nas quatro avaliações possíveis a fórmula
tomou o valor
. Portanto, pela definição, é uma tautologia. Mas vou também mostrar uma prova algébrica curta, útil para a prova (economiza tempo).
Passo 9
Método direto 2 — prova por equivalências algébricas (mais rápida em prova):
Começamos usando a equivalência .
Começamos usando a equivalência
Agora aplicamos a equivalência de novo na subfórmula
:
Usando dupla negação
e associatividade/comutatividade de
,
Mas
é a lei do terceiro excluído, que é sempre
. Logo
Assim a fórmula é equivalente à proposição sempre verdadeira
, ou seja, é tautológica.
Passo 10
Interpretação intuitiva curta (para lembrar na prova): a implicação interior
só pode ser falsa quando
e
, ou seja, quando
e
. Nesse caso a parte interior é falsa, mas então o antecedente externo
é
, e
vale
. Em todas as outras situações alguma das implicações dá
. Por isso, sempre dá
.
Resposta
Tautológica