Exercício 02: Prove que os pontos A(-7,-2), B(3,-4) e C(1,4) são vértices de um triângulo escaleno.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Pontos fornecidos:
    • A(-7,-2)
    • B(3,-4)
    • C(1,4)
  • O enunciado pede: provar que esses pontos são vértices de um triângulo escaleno.

Passo 2

Apresentar a ferramenta principal: fórmula da distância entre dois pontos no plano e explicar por que ela funciona.
  • Fórmula (derivação rápida): para dois pontos P(x_P,y_P) e Q(x_Q,y_Q), a diferença nas coordenadas é \Delta x = x_Q-x_P e \Delta y = y_Q-y_P. Esses \Delta x e \Delta y são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância d(P,Q). Pelo Teorema de Pitágoras,
    d(P,Q)=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.
    Aqui cada variável significa:
    • x_P,y_P: coordenadas do ponto P;
    • x_Q,y_Q: coordenadas do ponto Q;
    • d(P,Q): distância entre P e Q;
    • \Delta x=x_Q-x_P e \Delta y=y_Q-y_P.
  • Observação útil para comparação: como a função raiz quadrada é estritamente crescente em [0,\infty), comparar distâncias pode ser feito comparando os quadrados das distâncias. Ou seja, se d_1^2\neq d_2^2 então d_1\neq d_2.

Passo 3

Calcular a distância AB.
  • Calcular diferenças: \Delta x_{AB}=x_B-x_A=3-(-7)=10, \qquad \Delta y_{AB}=y_B-y_A=-4-(-2)=-2.
  • Aplicar a fórmula: AB=\sqrt{(\Delta x_{AB})^2+(\Delta y_{AB})^2}=\sqrt{10^2+(-2)^2}=\sqrt{100+4}=\sqrt{104}.
  • Simplificar \sqrt{104}: 104=4\cdot 26, logo AB=2\sqrt{26}.

Passo 4

Calcular a distância AC.
  • Calcular diferenças: \Delta x_{AC}=x_C-x_A=1-(-7)=8, \qquad \Delta y_{AC}=y_C-y_A=4-(-2)=6.
  • Aplicar a fórmula: AC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.

Passo 5

Calcular a distância BC.
  • Calcular diferenças: \Delta x_{BC}=x_C-x_B=1-3=-2, \qquad \Delta y_{BC}=y_C-y_B=4-(-4)=8.
  • Aplicar a fórmula: BC=\sqrt{(-2)^2+8^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}.
  • Simplificar \sqrt{68}: 68=4\cdot 17, portanto BC=2\sqrt{17}.

Passo 6

Comparar os comprimentos obtidos para verificar se são todos diferentes (condição de triângulo escaleno) e verificar também que os pontos não são colineares (para garantir que formam um triângulo não degenerado).
  • Quadrados das distâncias (mais simples para comparar):
    AB^2=104,\qquad AC^2=100,\qquad BC^2=68.
    Como 104, 100 e 68 são três números distintos, segue que
    AB\neq AC,\qquad AB\neq BC,\qquad AC\neq BC.
    Logo os três lados têm comprimentos distintos — esta é a definição de triângulo escaleno.
  • Verificar não-colinearidade (para garantir que os pontos realmente formam um triângulo, não uma reta). Usar a fórmula da área via determinante (fórmula do polígono/“shoelace”): para pontos A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3) a área do triângulo é
    \text{Área}=\tfrac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|.Á
    Substituindo A(-7,-2),B(3,-4),C(1,4):
    S = x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)
S = (-7)(-4-4)+3(4-(-2))+1(-2-(-4)).
Calcular termo a termo:
(-7)(-8)=56,\quad 3\cdot 6=18,\quad 1\cdot 2=2.
Somando: S=56+18+2=76. Assim
\text{Área}=\tfrac{1}{2}|76|=38\neq 0.Á
Como a área é diferente de zero, os pontos não são colineares e formam um triângulo não degenerado.

Resposta

Sim. AB=2\sqrt{26},\\ AC=10,\\ BC=2\sqrt{17}. Como os três comprimentos são distintos e a área do triângulo é 38\neq0, os pontos A(-7,-2),\\ B(3,-4),\\ C(1,4) são vértices de um triângulo escaleno.

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