Exercício 02: Prove que os pontos
e
são vértices de um triângulo escaleno.
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Pontos fornecidos:
-
-
O enunciado pede: provar que esses pontos são vértices de um triângulo escaleno.
Passo 2
Apresentar a ferramenta principal: fórmula da distância entre dois pontos no plano e explicar por que ela funciona.
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Fórmula (derivação rápida): para dois pontos
e , a diferença nas coordenadas é e . Esses e são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a distância . Pelo Teorema de Pitágoras, Aqui cada variável significa:-
: coordenadas do ponto ; -
: coordenadas do ponto ; -
: distância entre e ; -
e .
-
-
Observação útil para comparação: como a função raiz quadrada é estritamente crescente em
, comparar distâncias pode ser feito comparando os quadrados das distâncias. Ou seja, se então .
Passo 3
Calcular a distância
.
- Calcular diferenças:
- Aplicar a fórmula:
- Simplificar
: , logo
Passo 4
Calcular a distância
.
- Calcular diferenças:
- Aplicar a fórmula:
Passo 5
Calcular a distância
.
- Calcular diferenças:
- Aplicar a fórmula:
- Simplificar
: , portanto
Passo 6
Comparar os comprimentos obtidos para verificar se são todos diferentes (condição de triângulo escaleno) e verificar também que os pontos não são colineares (para garantir que formam um triângulo não degenerado).
-
Quadrados das distâncias (mais simples para comparar):Como
, e são três números distintos, segue que Logo os três lados têm comprimentos distintos — esta é a definição de triângulo escaleno. -
Verificar não-colinearidade (para garantir que os pontos realmente formam um triângulo, não uma reta). Usar a fórmula da área via determinante (fórmula do polígono/“shoelace”): para pontos
a área do triângulo é Substituindo:
Calcular termo a termo:
Somando:
. Assim
Como a área é diferente de zero, os pontos não são colineares e formam um triângulo não degenerado.
Resposta
Sim.
. Como os três comprimentos são distintos e a área do triângulo é
, os pontos
são vértices de um triângulo escaleno.