Exercício 09: Determine a equação da reta que passa pelos pontos (-2,7) e (6,0).

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a equação da reta que passa pelos pontos (-2,7) e (6,0)".
Informações dadas:
  • Primeiro ponto: (-2,7).
  • Segundo ponto: (6,0).
    O que se quer: encontrar uma equação que descreva a reta que passa por esses dois pontos (pode ser na forma inclinação-dependente y=mx+b ou na forma padrão com coeficientes inteiros).

Passo 2

Definição útil (fórmula do coeficiente angular): para dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o coeficiente angular m (a “inclinação” da reta) é dado por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
O que isso significa na prática: m é quanto a variável y varia quando x varia uma unidade. Se m>0 a reta sobe da esquerda para a direita; se m<0 a reta desce.

Passo 3

Aplicando a fórmula do coeficiente angular aos pontos dados, escolho (x_1,y_1)=(-2,7) e (x_2,y_2)=(6,0). Então
m=\frac{0-7}{6-(-2)}=\frac{-7}{6+2}=\frac{-7}{8}.
Portanto o coeficiente angular é \displaystyle m=-\frac{7}{8}.

Passo 4

Agora uso a forma ponto-inclinação da equação da reta. A fórmula é
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto conhecido da reta e m é o coeficiente angular. Aqui posso usar qualquer um dos dois pontos; vou usar (-2,7). Substituindo (x_0,y_0)=(-2,7) e m=-\dfrac{7}{8} vem
y-7=-\frac{7}{8}\bigl(x-(-2)\bigr).

Passo 5

Simplifico o parêntese \bigl(x-(-2)\bigr)=x+2 e passo a desenvolver a expressão:
y-7=-\frac{7}{8}(x+2).
Faço a multiplicação no lado direito:
-\frac{7}{8}(x+2)=-\frac{7}{8}x-\frac{7}{8}\cdot 2=-\frac{7}{8}x-\frac{14}{8}=-\frac{7}{8}x-\frac{7}{4}.
Então
y-7=-\frac{7}{8}x-\frac{7}{4}.

Passo 6

Agora isolo y somando 7 nos dois lados. Para somar 7 com -\dfrac{7}{4} é conveniente usar denominador comum:
7=\frac{28}{4},
então
-\frac{7}{4}+7=-\frac{7}{4}+\frac{28}{4}=\frac{21}{4}.
Assim
y=-\frac{7}{8}x+\frac{21}{4}.
Esta é a forma inclinação-intercepto y=mx+b com m=-\dfrac{7}{8} e intercepto b=\dfrac{21}{4}.

Passo 7

Podemos também escrever a equação em forma com coeficientes inteiros (forma padrão). Multiplico ambos os lados por 8 para eliminar denominadores:
8y=-7x+42.
Reorganizando para ter termos do mesmo lado:
7x+8y-42=0.
Ambas as formas são equivalentes e corretas.

Passo 8

Verificação rápida (substituindo os pontos na equação y=-\dfrac{7}{8}x+\dfrac{21}{4}):
  • Para (-2,7): -\dfrac{7}{8}(-2)+\dfrac{21}{4}=\dfrac{14}{8}+\dfrac{21}{4}=\dfrac{7}{4}+\dfrac{21}{4}=\dfrac{28}{4}=7. OK.
  • Para (6,0): -\dfrac{7}{8}\cdot 6+\dfrac{21}{4}=-\dfrac{42}{8}+\dfrac{21}{4}=-\dfrac{21}{4}+\dfrac{21}{4}=0. OK.
    Ambos os pontos satisfazem a equação, então está correta.

Resposta

y=-\dfrac{7}{8}x+\dfrac{21}{4}
ou, equivalentemente, 7x+8y-42=0

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