Exercício 02: Resolver as seguintes inequações trigonométricas:
\sqrt{2} \cos ^{2} x>\cos x, 0 \leq x \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação trigonométrica
\sqrt{2}\,\cos^{2}x>\cos x,
no intervalo [0,\pi]. Vamos usar manipulação algébrica, fatoração e o estudo do sinal de produto para encontrar x.

Passo 2

Primeiro levamos tudo para o lado esquerdo:
\sqrt{2}\,\cos^{2}x-\cos x>0.
Em seguida fatoramos \cos x:
\cos x\bigl(\sqrt{2}\,\cos x-1\bigr)>0.

Passo 3

Uma desigualdade do tipo A\cdot B>0 vale se, e somente se, A e B forem ambos positivos ou ambos negativos. Aqui A=\cos x e B=\sqrt{2}\,\cos x-1. Analisamos dois casos:

Passo 4

Caso 1: \cos x>0 e \sqrt{2}\,\cos x-1>0.
Da segunda condição vem
\sqrt{2}\,\cos x>1 \quad\Longrightarrow\quad \cos x>\frac{1}{\sqrt{2}}.
No intervalo [0,\pi], \cos x é decrescente de 1 a -1, logo \cos x>1/\sqrt{2} equivale a
0\le x<\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Caso 2: \cos x<0 e \sqrt{2}\,\cos x-1<0.
Mas \sqrt{2}\,\cos x-1<0 é \cos x<1/\sqrt{2}, o que já é automático se \cos x<0. Portanto basta
\cos x<0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{2}<x\le\pi.
O ponto x=\pi/2 \cos x=0 e zera o produto, então não o incluímos.

Resposta

Os valores de x que satisfazem a inequação em [0,\pi] são
\bigl[0,\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\cup\,\bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr].

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