Exercício 02: Resolver as seguintes inequações trigonométricas:
(\sin x+\cos x)^{2}<1,0 \leq x \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
(\sin x + \cos x)^{2}<1,\quad 0\le x\le2\pi.
Estamos diante de uma inequação trigonométrica e vamos usar as identidades \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 e \sin2x=2\sin x\cos x.

Passo 2

Expandindo o quadrado, temos
(\sin x + \cos x)^{2} = \sin^{2}x + 2\sin x\cos x + \cos^{2}x.
Pelo fato de \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, isto se reduz a
(\sin x + \cos x)^{2} = 1 + 2\sin x\cos x.

Passo 3

A inequação fica
1 + 2\sin x\cos x < 1
ou seja
2\sin x\cos x < 0.
Como \sin2x=2\sin x\cos x, obtemos
\sin2x < 0.

Passo 4

Para resolver \sin2x<0 com 0\le x\le2\pi, note que 2x varia em [0,4\pi]. A função seno é negativa em
(\pi,2\pi)\quad\text{e}\quad(3\pi,4\pi).
Logo
2x\in(\pi,2\pi)\cup(3\pi,4\pi)
e, dividindo por 2,
x\in\bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr)\,\cup\,\bigl(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\bigr).

Resposta

\bigl(\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr)\;\cup\;\bigl(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\bigr).

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